2.2.3 一元二次不等式的解法（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.2.3　一元二次不等式的解法 (强基课－梯度进阶式教学) 课时目标 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. (一)一元二次不等式 (1)一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. (2)一元二次不等式所有解组成的集合为一元二次不等式的解集. 微点助解 (1)因式分解法：一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞). (2)配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方可变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式. 当k>0时，(x－h)2>k的解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)，(x－h)2<k的解集为(h－，h＋). 当k<0时，(x－h)2>k的解集为R，(x－h)2<k的解集为∅. 当k＝0时，(x－h)2>k的解集为{x|x≠h}，(x－h)2<k的解集为∅. [基点训练] 1.判断正误. (1)mx2－5x<0是一元二次不等式.(　 ) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.(　 ) (3)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.不等式x2－6x－1≤0的解集为______________. 答案：[3－，3＋] 3.不等式x2＋4x＋1≥0的解集为______________. 答案：(－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞) (二)简单的分式不等式的解法 微点助解 常见分式不等式的转化 　先将分式不等式移项、通分，整理成一边为0的形式，再等价转化为整式不等式求解(设f(x)＝ax＋b，g(x)＝cx＋d)，即 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0； (2) <0⇔f(x)·g(x)<0； (3) ≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0； (4) ≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. [基点训练] 1.不等式<0的解集为________. 解析：原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2. 答案：{x|1<x<2} 2.不等式≤1的解集为________. 解析：∵≤1，∴≥0，∴∴x≥1或x<0. 答案：{x|x≥1或x<0} 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. [解]　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}. (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}. 　 　 图1　　　　 图2　　　　　图3 [方法技巧]　解一元二次不等式的一般方法和步骤 [针对训练] 1. 解不等式－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0， 即(x－1)(x－2)>0， 解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0， 即(x－5)(x＋2)≤0， 解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}. 2.解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0. 解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax