2.2.1 不等式及其性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

　　　　　　2.2.1　不等式及其性质(强基课－梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解不等式的概念，掌握比较实数大小的依据 2.通过等式与不等式的差异，掌握等式和不等式的性质，能利用不等式的性质证明简单的不等式和解简单不等式. (一)比较实数a，b大小的依据 依据 如果a－b>0，那么a＞b； 如果a－b<0，那么a<b； 如果a－b＝0，那么a＝b 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系即可 通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为作差法. 微点助解 (1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示.而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”. (2)利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个(或几个)量必须具有相同性质，才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意单位的统一. [基点训练] 1.若x<0，则x－2与2x－2的大小关系是______. 解析：因为x－2－(2x－2)＝－x>0， 所以x－2>2x－2. 答案：x－2>2x－2 2.如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志： 其含义分别为 ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m. 你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3. (二)不等式的性质及推论 1.不等式的性质 性质1　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质2　如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3　如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质4　如果a>b，b>c，那么a>c(不等关系的传递性). 性质5　a>b⇔b<a. 2.不等式的推论 推论1　如果a＋b>c，那么a>c－b. 推论2　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1). 推论5　如果a>b>0，那么>. 微点助解 对不等式的性质及推论的理解 (1)性质1说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.推论1是不等式移项法则的基础.不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边. (2)性质2和性质3的推导是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成的.应用时一定要注意c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相反.a，b可以是实数，也可以是式子. (3)推论2中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a>b，c>d，可以得出a＋c>b＋d，但不能得出a－c>b－d. (4)推论3是同向不等式相乘法则的依据，可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相乘，即若a1>b1>0，a2>b2>0，…，an>bn>0，n∈N＋，则a1a2…an>b1b2…bn. (5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意前后关系是否可逆，如a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b⇔a＋c＞b＋c.即符号“⇔”表示等价关系，可以互相推出，而符号“⇒”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明不等式时，要特别注意是否可逆. [基点训练] 1.判断正误. (1)若>1，则a>b.(　 ) (2)a与b的差是非负实数， 可表示为a－b>0.(　 ) (3)∀x∈R，都有x2>x－1.(　 ) (4)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.(　 ) (5)a，b，c为实数，若ac2>bc2，则a>b.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2.与a>b等价的不等式是(　 ) A.|a|>|b|　　　　　 B.a2>b2 C.>1 D.a3>b3 解析：选D　可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1，故A、B、C都不正确. 3.已知a<0<b，则下列不等式恒成立的是(　 ) A.a＋b<0 B.<1 C.>1 D.> 答案：B 题型(一)　实数(式)的比较大小 [典例]　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小. [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). ∵x≤1，∴x－1≤0.而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. [变式拓展]　 　把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解：3x3－