2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (概念课－逐点理清式教学) 课时目标 1.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用. 2.理解一元二次方程的根与系数的关系，能利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值. 逐点清(一)　配方法解一元二次方程 [多维度理解] (1)“化”：将原方程化为一般形式，并将二次项系数化为1； (2)“移”：将常数项移到方程右边； (3)“配”：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，此时，方程左边为一个完全平方式，右边为一个常数； (4)“解”：若右边是非负数，则直接开平方求解；若右边是一个负数，则此方程无实数解. [细微点练明] 1.用配方法解一元二次方程x2－6x＝1时，方程两边应同时加上(　 ) A.3 B.9 C.6 D.36 解析：选B　x2－6x＝1两边应同时加上9，变为(x－3)2＝10. 2.用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为(　 ) A.(x＋2)2＝1 B.(x＋2)2＝9 C.(x－2)2＝9 D.(x－2)2＝1 解析：选B　由x2＋4x－5＝0可得x2＋4x＝5，则x2＋4x＋4＝5＋4，即(x＋2)2＝9. 3.用配方法解下列方程： (1)3x2－6x＋2＝0； (2)－x2＋x－＝0. 解：(1)方程两边同除以3，得x2－2x＋＝0. 移项，得x2－2x＝－. 配方，得x2－2x＋(－1)2＝－＋(－1)2， 即(x－1)2＝， ∴x－1＝±. ∴x1＝1＋，x2＝1－， ∴方程的解集为. (2)方程两边同除以－， 得x2－5x＋＝0.移项， 得x2－5x＝－. 配方，得x2－5x＋2＝－＋2， 即2＝，∴x－＝±. ∴x1＝，x2＝， ∴方程的解集为. 逐点清(二)　一元二次方程根的判别式的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　[多维度理解] 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是b2－4ac，通常用符号来表示.利用根的判别式，不解方程就可以判断方程根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根. 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，设这个方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 微点助解 　只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac.(1)“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”；(2)“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”；(3)“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”；(4)“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”. [细微点练明] 1.对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(　 ) A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 解析：选C　所给的一元二次方程中，a＝1，b＝－2(k＋1)，c＝－k2＋2k－1，故Δ＝b2－4ac＝[－2(k＋1)]2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8＋8k2>0.所以此方程有两个不相等的实数根. 2.已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根. 解：(1)关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程， Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0， 解得m≥－且m≠－1. 综上可知，m的取值范围为. (2)∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0， 解得m＝－. ∴方程为－x2－3x－＝0. 两边同时乘以－2， 得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. 故当m＝－时，方程有两个相等的实数根－3. 逐点清(三)　一元二次方程根与系数的关系的应用 [典例]　(1)已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，求＋的值； (2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根. ①求k的取值范围； ②若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值. [解]　(1)由题知，Δ>0，x1＋x2＝－6，x1x2＝3， ∴＋＝ ＝ ＝＝10. (2)①∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k