2.1.1 等式的性质与方程的解集（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

第二章 等式与不等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (概念课－逐点理清式教学) 课时目标 1.掌握等式的性质，并能进行应用.能通过因式分解求方程的解集. 2.理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简. 逐点清(一)　等式的性质与恒等式 [多维度理解] 1.等式的性质 文字语言 符号语言 等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意c，都有a±c＝b±c 等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0) 微点助解 等式性质的延伸 (1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a； (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换). 2.恒等式 (1)恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. (2)常见的恒等式 ①a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)； ②(a－b)2＝a2－2ab＋b2(两数差的平方公式)； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(两数和的平方公式)； ④a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)(立方差公式)； ⑤a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)(立方和公式). [细微点练明] 1.(多选)下列式子中变形正确的是(　 ) A.若3x－1＝2x＋1，则x＝0 B.若ac＝bc，则a＝b C.若＝，则＝ D.若＝，则y＝x 解析：选CD　对于A选项，两边同时减去(2x－1)，得到x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a(a≠0)，得到＝，故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确. 2.(多选)若x3＋a3＝(x＋a)(x2－ax＋9)对任意实数x都成立，则实数a可能的值是(　 ) A.－9 B.9 C.－3 D.3 解析：选CD　因为x3＋a3＝(x＋a)(x2－ax＋a2)，故x3＋a3＝(x＋a)(x2－ax＋9)对任意实数x都成立，即(x＋a)(x2－ax＋a2)＝(x＋a)(x2－ax＋9)对任意实数x都成立，所以x2－ax＋a2＝x2－ax＋9，即a2＝9，故a＝±3. 3.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为(　 ) A.(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2 B.a2－b2＝(a＋b)(a－b) C.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 解析：选B　题图甲中阴影部分的面积为a2－b2，题图乙中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)，因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2－b2＝(a＋b)·(a－b). 4.已知x2－3x＋1＝0，求x3＋的值. 解：∵x2－3x＋1＝0，∴x≠0. ∴x2＋1＝3x，则x＋＝3. ∴x3＋＝ ＝ ＝3×(32－3)＝18. 逐点清(二)　“十字相乘法”因式分解 [多维度理解] 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 微点助解 (1)运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①因式分解的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和. (2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同. (3)分解x2＋(a＋b)x＋ab型的式子时，有时需要经过多次尝试，才能使交叉相乘后再相加所得的和等于一次项系数. [细微点练明] 　因式分解： (1)6x2＋5x＋1；(2)6x2＋11x－7； (3)42x2－33x＋6；(4)2x4－5x2＋3. 解：(1)如图所示，6x2＋5x＋1＝(2x＋1)·(3x＋1). (2)如图所示，6x2＋11x－7＝(2x－1)·(3x＋7). (3)如图所示，42x2－33x＋6＝(6x－3)·(7x－2). (4)如图所示，2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x