2.1.1 等式的性质与方程的解集（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦等式的性质与方程的解集核心知识点，从等式的基本性质（含性质拓展）出发，延伸至恒等式（常用公式），再到方程解集的求解，构建从基础到应用的学习支架，重点培养用因式分解法解一元二次方程的技能。 资料以狐狸“2=5”的趣味故事导入，激发学生用数学眼光观察现实问题的兴趣，通过“想一想”引导学生深度思考培养推理意识，题型分层设计结合三角形周长计算等实例提升应用能力。课中助力教师引导探究，课后学生可通过练习查漏补缺，强化知识掌握。

第二章　等式与不等式 2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 【基础落实】 新知初探 知识点 1.（1）同一个　（2）不为零　2.任意实数　两边恒等　3.所有解 想一想 1.提示：不一定，当c≠0时，若ac＝bc，则a＝b. 2.提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根. 自我诊断 1.B　因为3x＝7y（y≠0），则x≠0，则＝，＝，故B选项正确，A、C、D选项错误.故选B. 2.C　对于方程x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}，故C正确，A、B、D错误.故选C. 3.（x－1）（5x＋3） 【典例研析】 【例1】　C　①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正确，故选C. 跟踪训练 　B　对于A，x＝y＝0满足mx＝my，但＝无意义，故错误；对于B，mx＝my两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确；对于C，当m＝0，x＝1，y＝2，满足mx＝my，但得不到x＝y，故错误；对于D，当mx＝my＜0时，无法得到＝，故错误.故选B. 【例2】　解：（1）原式＝43＋m3＝64＋m3. （2）原式＝（a2－4）（a4＋4a2＋16）＝（a2）3－43＝a6－64. （3）法一 原式＝（x2－1）[（x2＋1）2－x2]＝（x2－1）·（x4＋x2＋1）＝x6－1. 法二 原式＝（x＋1）（x2－x＋1）（x－1）（x2＋x＋1）＝（x3＋1）·（x3－1）＝x6－1. （4）原式＝（x＋y）2（x2－xy＋y2）2＝[（x＋y）（x2－xy＋y2）]2＝（x3＋y3）2＝x6＋2x3y3＋y6. 【例3】　解：（1）由十字相乘法，得： 所以6x2＋11x－7＝（2x－1）（3x＋7）. （2）原式＝（＋6）（－）. （3）原式＝（x＋y＋2z）（x＋y－3z）. 跟踪训练 1.解：（1）原式＝x2＋9y2＋16z2－6xy－8xz＋24yz. （2）原式＝4a2＋1＋b2＋4a－4ab－2b－（a2＋ab－2b2）＝3a2－5ab＋3b2＋4a－2b＋1. （3）原式＝a3＋b3－（a3＋3a2b＋3ab2＋b3）＝－3a2b－3ab2. （4）原式＝（a－4b）（a2＋4ab＋16b2）＝[a3－（4b）3]＝a3－16b3. 2.解：（1）x2－2xy－8y2＝（x－4y）（x＋2y）. （2）（x＋y＋1）2－（x－y＋1）2＝[（x＋1）＋y]2－[（x＋1）－y]2 ＝（x＋1）2＋2（x＋1）y＋y2－[（x＋1）2－2（x＋1）y＋y2]＝4（x＋1）y. （3）法一 x3＋6x2＋11x＋6 ＝（x3＋3x2）＋（3x2＋9x）＋（2x＋6） ＝x2（x＋3）＋3x（x＋3）＋2（x＋3） ＝（x＋3）（x2＋3x＋2）＝（x＋3）（x＋1）（x＋2）. 法二 x3＋6x2＋11x＋6＝（x3＋3x2）＋（3x2＋11x＋6）① ＝x2（x＋3）＋（x＋3）（3x＋2）＝（x＋3）（x2＋3x＋2） ＝（x＋3）（x＋1）（x＋2）.①可用十字相乘法分解因式 　　　 3×3＋2×1＝11. 【例4】　解：（1）去括号，得4－30＋3y＝5y. 移项，得3y－5y＝30－4. 合并同类项，得－2y＝26. 系数化为1，得y＝－13. 所以该方程的解集为{－13}. （2）去分母，得2（2x－1）＝（2x＋1）－6. 去括号，得4x－2＝2x＋1－6. 移项，得4x－2x＝1－6＋2. 合并同类项，得2x＝－3. 系数化为1，得x＝－. 所以该方程的解集为. 【例5】　解：（1）原方程可变形为x（x＋2）＝2（x＋2），即 （x－2）（x＋2）＝0， 从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2，2}. （2）利用平方差，将原方程变为[4（x－5）＋3（x＋4）]·[4（x－5）－3（x＋4）]＝0， 整理可得（7x－8）（x－32）＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32， 故原方程的解集为. 跟踪训练 1.8　解析：由x2－8x＋15＝0得（x－5）（x－3）＝0，解得x＝3或x＝5.又因为△ABC的两边长分别为2，3，所以1＜x＜5，故x＝3，所以△ABC的周长为2＋3＋3＝8. 2.　解析：由a2x＋1＝b2－x⇒（a2＋1）x＝b2－1， 解得x＝. 随堂检测 1.C　由完全平方公式得，原式＝9a2－12ab＋4b2. 2.C　由＝＋1，得x＝1，因为关于x的方程＝＋1的解集为∅，所以－＝0，得a＝，故选C. 3.CD　对于A选项，两边同时减（2x－1），得到x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a（a≠0），得到＝.故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确.故选C、D. 4.－7　解析：x2－10x－7＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c，当x＝0，则a＋b＋c＝－7. 5.24　解析：∵x－2y＝6，x－3y＝4，∴原式＝（x－2y）（x－3y）＝24. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1　等式的性质与方程的解集 掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程（数学抽象、数学运算）. 　　有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5x－2＝2x－2.等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，等式两边同时除以x，得5＝2”.老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑. 【问题】　你认为狐狸的说法正确吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）等式的两边同时加上　　　　数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个　　　　的数或代数式，等式仍成立. 　　提醒：等式的性质拓展：①a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4⇒a1＝a2＝a3＝a4；②a＝b⇒c－a＝c－b；③a＝b⇒－a＝－b；④a＝b≠0⇒＝. 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取　　　　　　时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式　　　　　　. 　　提醒：常用重要恒等式：①a2－b2＝（a＋b）（a－b）；②（a±b）2＝a2±2ab＋b2；③a3±b3＝（a±b）·（a2∓ab＋b2）；④（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 3.方程的解集 一般地，把一个方程　　　　组成的集合称为这个方程的解集. 【想一想】 1.若ac＝bc，一定有a＝b吗？ 2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解（根）吗？ 1.已知3x＝7y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　 ） A.＝　　 　B.＝C.＝ D.＝ 2.集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}＝（　　） A.1，2 B.（1，2） C.{1，2} D.{（1，2）} 3.用十字相乘法因式分解5x2－2x－3＝　　　　. 题型一｜等式性质的应用 【例1】　已知x＝y， 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正确的有（　　 ） A.①②③　　　　　　 B.④⑤⑥ C.①③⑤ D.②④⑥ 尝试解答 通性通法 　　在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件. 【跟踪训练】 已知等式mx＝my，则下列变形正确的是（　　） A.＝ B.mx＋2＝my＋2 C.x＝y D.＝ 题型二｜恒等式的化简 角度1　利用恒等式化简 【例2】　计算下列各式： （1）（4＋m）（16－4m＋m2）； （2）（a＋2）（a－2）（a4＋4a2＋16）； （3）（x＋1）（x－1）（x2－x＋1）（x2＋x＋1）； （4）（x2＋2xy＋y2）（x2－xy＋y2）2. 尝试解答 通性通法 1.在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构. 2.注意乘法公式的正用、逆用及变形应用. 角度2　十字相乘法分解因式 【例3】　把下列各式因式分解： （1）6x2＋11x－7； （2）x＋5－6y（x＞0，y＞0）； （3）（x＋y）2－z（x＋y）－6z2. 尝试解答 通性通法 　　对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成（a1x＋c1）（a2x＋c2）. 【跟踪训练】 1.计算下列各式： （1）（x－3y－4z）2； （2）（2a＋1－b）2－（a－b）（a＋2b）； （3）（a＋b）（a2－ab＋b2）－（a＋b）3； （4）（a－4b）. 2.因式分解： （1）x2－2xy－8y2； （2）（x＋y＋1）2－（x－y＋1）2； （3）x3＋6x2＋11x＋6. 题型三｜求方程的解集 角度1　求一元一次方程的解集 【例4】　求下列方程的解集： （1）4－3（10－y）＝5y； （2）＝－1. 尝试解答 通性通法 　　解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤. （1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数.注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数； （2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号. 角度2　因式分解法解一元二次方程 【例5】　求下列方程的解集： （1）x（x＋2）＝2x＋4； （2）16（x－5）2－9（x＋4）2＝0. 尝试解答 通性通法 因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的积； （3）令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解. 【跟踪训练】 1.若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是　　　　. 2.关于x的方程a2x＋1＝b2－x的解集为　　　. 1.计算（3a－2b）2的结果为（　　） A.9a2＋4b2 B.9a2＋6ab＋4b2 C.9a2－12ab＋4b2 D.9a2－4b2 2.已知关于x的方程＝＋1的解集为∅，则实数a的值为（　　 ） A.0 B.1 C. D. 3.〔多选〕下列式子中变形正确的是（　　 ） A.若3x－1＝2x＋1，则x＝0 B.若＝，则a＝b C.若＝，则＝ D.若＝，则y＝x 4.若等式x2－10x－7＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c恒成立，则a＋b＋c的值为　　　　　. 5.已知x－2y＝6，x－3y＝4，则x2－5xy＋6y2的值为　　　 . 提示：完成课后作业　第二章　2.1　2.1.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $