2.2.4 均值不等式及其应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

课时目标 2.2.4　均值不等式及其应用 第 1 课时　均值不等式(强基课－梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数______称为a，b的算术平均值；数_____称为a，b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a，b都是正数，那么 ____ ，当且仅当 _____时，等号成立. a＝b 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　 ) A.a＝±1 B.a＝1 C.a＝－1 D.a＝0 答案：B　 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立. 答案：C 答案：ABD　 题型(一)　对均值不等式的理解 [典例]　给出下面三个推导过程： [答案]　B 答案：C　 题型(二)　利用均值不等式比较大小 (2)因为a>2，所以a－2>0， 由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n. [答案]　(1)B　(2)m>n [方法技巧] 利用均值不等式比较大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.　　 答案：B　 2.已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是_____________________. 解析：∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 答案：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac 题型(三)　利用均值不等式证明不等式 [方法技巧] 利用均值不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用均值不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到 “课时跟踪检测 ”见 “课时跟踪检测（十六）” (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 1.掌握均值不等式≤(a>0，b>0)，掌握均值不等式的变形及应用. 2.能熟练运用均值不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. 3.常用变形 (1)2≥ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立. 微点助解 (1)均值不等式≥中，要求a，b都是正实数，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论.若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义. (2)均值不等式成立的条件是a>0，b>0，而重要不等式中的a，b是实数.事实上，当a>0，b>0时，我们分别用，代替重要不等式中的a，b，即得a＋b≥2 ，变形可得≥. (3)均值不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数. [基点训练] 1.判断正误. (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 .(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立.(　 ) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　 ) 3.设a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　 ) A.a－b<0 B.0<<1 C.< D.ab>a＋b 解析：∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立. 4.(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是(　 ) A.≥ B.a－b≥2 C.a2＋b2≥2ab D.a2－b2≥2ab 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知A、B、D错误，只有C正确. ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－＋≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　 ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ [解析]　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确. ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的. ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正