2.2.3 一元二次不等式的解法（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 课时目标 2.2.3　一元二次不等式的解法 (强基课－梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)一元二次不等式 (1)一般地，形如______________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. (2)一元二次不等式________组成的集合为一元二次不等式的解集. ax2＋bx＋c>0 所有解 微点助解 (1)因式分解法：一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞). [基点训练] 1.判断正误. (1)mx2－5x<0是一元二次不等式.(　 ) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解.(　 ) (3)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ (二)简单的分式不等式的解法 微点助解 常见分式不等式的转化 先将分式不等式移项、通分，整理成一边为0的形式，再等价转化为整式不等式求解(设f(x)＝ax＋b，g(x)＝cx＋d)，即 解析：原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2. 答案：{x|1<x<2} 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0. [解]　(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}. (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}. 　 　 图1 图2 图3 [方法技巧]　 解一元二次不等式的一般方法和步骤 [针对训练] 1. 解不等式－2<x2－3x≤10. 不等式①可化为x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0，解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0， 即(x－5)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [典例]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R). 　 [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时， 当a>0时，不等式的解集为 ； 当－2<a<0时，不等式的解集为 ； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1} ； 当a<－2时，不等式的解集为 . [方法技巧]　 解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算 [针对训练] 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小. ①当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1). ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4. ③当a＋1<2(a－1)，即a>3时