2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用. 2.理解一元二次方程的根与系数的关系，能利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值. 课时目标 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (概念课－逐点理清式教学 1 2 目 录 3 逐点清(二)　一元二次方程根的判别式的应用 逐点清(三)　一元二次方程根与系数的关系的应用 逐点清(一)　配方法解一元二次方程 2 [多维度理解] (1)“化”：将原方程化为一般形式，并将二次项系数化为1； (2)“移”：将常数项移到方程右边； (3)“配”：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，此时，方程左边为一个完全平方式，右边为一个常数； (4)“解”：若右边是非负数，则直接开平方求解；若右边是一个负数，则此方程无实数解. 逐点清(一)　配方法解一元二次方程 [细微点练明] 1.用配方法解一元二次方程x2－6x＝1时，方程两边应同时加上(　 ) A.3 B.9 C.6 D.36 答案：B　 解析： x2－6x＝1两边应同时加上9，变为(x－3)2＝10. 2.用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为(　 ) A.(x＋2)2＝1 B.(x＋2)2＝9 C.(x－2)2＝9 D.(x－2)2＝1 答案：B　 解析：由x2＋4x－5＝0可得x2＋4x＝5，则x2＋4x＋4＝5＋4，即(x＋2)2＝9. [多维度理解] 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是_________，通常用符号来表示.利用根的判别式，不解方程就可以判断方程根的情况：当_____时，方程有两个不相等的实数根；当______时，方程有两个相等的实数根；当______时，方程没有实数根. 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，设这个方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝_____. 逐点清(二)　一元二次方程根的判别式的应用 b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 微点助解 　只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac.(1)“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”；(2)“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”；(3)“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”；(4)“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”. [细微点练明] 1.对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(　 ) A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 答案：C　 解析：所给的一元二次方程中，a＝1，b＝－2(k＋1)，c＝－k2＋2k－1，故Δ＝b2－4ac＝[－2(k＋1)]2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8＋8k2>0.所以此方程有两个不相等的实数根. 2.已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根. 解：(1)关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； 逐点清(三)　一元二次方程根与系数的关系的应用 [方法技巧] 在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值. [提醒]　利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.　 [针对训练] 1.已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为(　 ) A.5 B.－1 C.2 D.－5 答案：B　 解析：设另一个根为x0，则－2＋x0＝－3，即x0＝－1. 2.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值. 解：(1)根据题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0， (2)根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2. ∵(x1－x2)2＋m2＝21，∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2 ＝(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21. 整