专题24.2 圆与四边形的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题24.2 圆与四边形的综合 【典例1】定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形中，若，，则称四边形为准平行四边形． （1）如（图①），、、、是⊙O上的四个点，，延长到，使．求证：四边形是准平行四边形； （2）如（图②），准平行四边形内接于⊙O，，，若⊙O的半径为5，，求的长； （3）如（图③），在中，，，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值． 【思路点拨】 （1）可证是等边三角形，可得，由圆的内接四边形的性质可得，由四边形内角和定理可证，可得结论； （2）如图②，连接，由准平行四边形定义可求，可得是直径，由勾股定理可求，将绕点顺时针旋转得到，可得，，，，由勾股定理可求的长； （3）如图③，作的外接圆，过点作于，于，由准平行四边形定义可求，可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求，，由勾股定理可求，由当点在的延长线时，的长有最大值，即可求解． 【解题过程】 解：证明：（1）∵， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 且， ∴， ∴，且， ∴四边形是准平行四边形． （2）如图②，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是准平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴是直径， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转90°得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴点，点，点三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图③，作的外接圆，过点作于，于， ，，， ，， 四边形是准平行四边形，且， ， ，且，， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 当点在的延长线时，的长有最大值， 长的最大值． 1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E． （1）求证：AF=CE； （2）若BF=2，，求⊙O的半径． 2．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，G为的中点，的外接圆交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 4．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 （1）求证：与相切 （2）如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 5．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，以点 A 为圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF． （1）求CF长； （2）当A、E、F三点共线时，求EF长； （3） AF的最大值是__________． 6．（2022秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形． （1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长； （2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°； ①求证：四边形ABCD是双直角四边形； ②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积． 7．（2022春·江苏·九年级期末）如图1，已知矩形ABCD中，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O （1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线 （2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2022秋·江苏·九年级期中）如图1，已知，，点在轴的正半轴上，，，．点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． （1）__________； （2）当时，求的值； （3）以线段为直径的随点的运动而变化，当与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值． 9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以为一组邻边作，连接，设的中点分别为，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若点P从点B出发，以每秒的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为． ①是否存在这样的，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． ②