专题24.1 圆与三角形的综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题24.1 圆与三角形的综合 【典例1】已知等边内接于点P为弧上的一个动点，连结、、． （1）如图1，当线段经过点O时，写出线段，，满足的等量关系，并说明理由． （2）如图2，点P为弧的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． （3）如图3，在中，，，的外角平分线交的外接圆于点P，于E，求的长． 【思路点拨】 （1）由圆周角定理得出，由等边三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得出，，证出，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取．连接并延长交圆于．连接，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质和圆周角定理得出．．得出，证出，证出．得出，得出，证出．即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：，理由如下： 线段经过点， 是的直径， ， 是等边三角形， ， ， ，， ； （2），理由如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）在上截取．连接并延长交圆于．连接，如图3所示： ，， ， ． ． ， ， 又平分， ． ， ． ，即， ． 1．（2023春·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）如图，等腰直角与交于点B，C，，延长与分别交于点D，E，连接，并延长至点F，使得．    （1）求的度数； （2）求证：与相切； （3）若的半径为2，求的长． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点在以为直径的上，，点在上由点开始向点运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．    （1）求证：； （2）如果，求证：为的切线． 3．（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）如图，点是（半径为）上的一点． （1）尺规作图：请你用两种不同方法作的内接等边；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在劣弧上任意取一点，连接、、，请你直接写出、、之间的数量关系______； （3）等边的三个顶点将分成三段弧，将这三段弧沿等边的三边向圆内折叠，则这三段弧折叠后重合部分的面积为______．（用含的代数式表示） 4．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考阶段练习）如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的直径； （3）若的半径为6，，是线段上任意一点，请直接写出的最小值． 5．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）如图，内接于，是上一点．过点作，交的延长线于点．连接、，． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，，则的半径为______． 6．（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点， （1）如图1，如果，判断的形状，并证明． （2）如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系． （3）如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______． 7．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州英特外国语学校校考期中）已知的直径为10，D为上一动点（不与A、B重合），连接． （1）如图1，若，求的值； （2）如图2，弦平分，过点A作于点E，连接． ①当时，求的值； ②在点D的运动过程中，的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，． （1）如图1，是直径，交于点，，求的度数； （2）如图2，，，过点作交于点，求证：； （3）如图3，连接，，若，求的值． 9．（2023秋·福建厦门·九年级统考期末）如图，内接于，，，的长为，点P是射线上的动点．射线绕点O逆时针旋转得到射线，点Q是射线上的点，点Q与点O不重合，连接，． （1）求的半径； （2）当时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记，是其中任意两个位置，探究直线与的位置关系． 10．（2023秋·广东广州·九年级广州市八一实验学校校考期末）已知，在半圆中，直径，点、在半圆上运动，（点、可以与A、两点重合），弦． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； （3）如图3，取的中点，点从点A开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中： ①求点到的最小值距离； ②直接写出点的运动路径长______． 11．（2023春·北京·九年级专题练习）如图，是的直径，的平分线交于点C，于点E，于点H与交于点G，与交于M点，且. （1）求证： （2）求证： （3）若半径为4，求的长. 12．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知为的外接圆，． （1