2024年初中数学知识点各个击破专项练习：二次函数--矩形的存在性问题

2023-2024学年初中数学知识点各个击破专项练习： 二次函数--矩形的存在性问题 一、解答题 1．如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且，求点D的坐标； （4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于B点，A（﹣1，0），C（3，0）． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，点D为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点D作DF⊥x轴于F，交BC于E，求的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，将二次函数y＝ax2＋bx＋3沿射线AB平移个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上一点，P是y＝ax2＋bx＋3的顶点，N为坐标平面内一点，使得以点P、A、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程． 3．综合与探究 已知：如图，二次函数的图象的顶点为，与x轴交于B，A两点，与y轴交于点，点E为抛物线对称轴上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)当的周长最小时，点E的坐标为____________； (3)当点E在x轴上方且时，试判断与的位置关系，并说明理由； (4)若点N是y轴上的一点，坐标平面内是否存在P，使以D、B、N、P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，B两点． (1)求a，k的值及点B的坐标； (2)在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程） (3)点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由． 5．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与y轴交点的坐标． (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)①当时，y的取值范围是______． ②若时，，则n的取值范围是______． (3)二次函数图象上一点P，其横坐标为m．过点P作轴于点Q，点，以、为边构建矩形PQMN，当矩形的边与二次函数的图象只有三个交点时，直接写出m的取值范围． 6．如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C． 点D(2，3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点. （1）求该抛物线对应的二次函数关系式； （2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为(0，n)，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形.①求n的值；②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.   7．已知，二次函数y＝﹣x2＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC． （1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y′＝ax2＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，点，二次函数的图象顶点为B．与y轴交于点C．连接．过点A作轴于点D，点E是线段上的动点（点E不与A、C两点重合）． (1)直接写出顶点B，点C的坐标； (2)若直线将四边形分成周长相差为4的两个四边形，求点E的坐标； (3)如图，连接，作矩形，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在二次函数的图像上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 9．已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D． ①连结，当四边形为矩形时，求m的值； ②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于