【数学思想】第1讲：分类讨论思想在导数解答题中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第1讲 分类讨论思想在在导数解答题中的应用 在解答某些数学问题时。有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法。是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。分类讨论思想在数学问题具有明显的。逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。导数中分类讨论思想的应用之所以难，是因为加入了参数，使得确定的函数变得不确定。因此，对参数的讨论而确定出函数的单调区间极值、最值趋势图像。在高考中每年必考的内容。 利用导数来研究函数的单调性、极值、最值问题是高中数学的重要内容，分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。导数大题的共同点就是求完导数后往往转化为带参数的函数。因此，需要利用分类讨论来解决含参数的导数问题是近几年高考考察的一个重要重点和热点。导数是解决函数单调性、最值等问题十分有利的工具。 【应用一】分类讨论思想在运用导数研究单调性的应用 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y=f(x) 在区间(a,b) 上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)内　单调递增　  f'(x)<0 f(x)在(a,b)内　单调递减　  f'(x)=0 f(x)在(a,b)内是　常数函数　  可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 【例1.1】（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷）） 已知函数． （1）讨论的单调性； 【变式1-1】（2022年江苏徐州市中学高三月考模拟试卷）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：. 【变式1-2】（2022年福建德化高中模拟试卷）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数有两个极值点，证明：． 【变式1-3】（2022·辽宁·育明高中一模）已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有且仅有3个零点，求a的取值范围.（其中常数…，是自然对数的底数） 【应用二】分类讨论思想在运用导数研究零点的应用 函数零点问题是我们在做题过程中常见的问题，但是往往在解决函数零点问题时会发现，函数解析式总是十分复杂，所以为了研究较复杂函数的零点问题，我们一般会通过函数的单调性、极值、图象的变化趋势等求解； 【例2】【2022年全国乙卷】已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 【变式2-1】（2022年广东真光中学-深圳二高高三月考模拟试卷） 已知函数，，在上有且仅有一个零点. （1）求的取值范围； （2）证明：若，则在上有且仅有一个零点，且. 【变式2-2】（2022·湖南·模拟预测）已知函数，（e是自然对数的底数，． (1)求函数的最小值； (2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 【变式2-3】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知，. (1)讨论的单调性； (2)若函数与的图象恰有一个交点，求的取值范围. 【变式2-4】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数. (1)当m＝1时，求f（x）在[1，e]上的值域； (2)设函数f（x）的导函数为，讨论零点的个数. 【应用三】分类讨论思想在运用导数研究极值与最值的应用 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧　f'(x)<0　,右侧　f'(x)>0　,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.  若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧　f'(x)>0　,右侧　f'(x)<0　,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.  极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 函数的最值 1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.  【例3.1】（2022年广东梅州市高三月考模拟试卷）已知函数. （1）求的极值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围． 【例3.2】（2022·河北保定·高三期末）已知函数. (1)若，讨论在上的单调性； (2)若函数在上的最大值小于，求的取值范围. 【变式3-1】【2019年新课标3卷