3.3 函数的应用（一）4种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

3.3 函数的应用（一）4种常见考法归类 1、常见的函数模型 （1）一次函数模型 形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时，应注意： ①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况； ②一次函数的图像是一条直线． （2）二次函数模型 形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题． （3）分段函数模型 这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝，k≠0)、二次函数中两种及以上的综合． （4）对勾函数模型 这个模型的实质是一次函数与反比例函数(形如y＝，k≠0)模型的综合． 2、利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．　　 3、二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题． 4、分段函数模型的应用 (1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键． (2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法． 5、应用函数y＝x＋模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)＝ax＋的形式． [提醒]　(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域． (2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．　 6、解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元一次函数模型 考点二 一元二次函数模型 考点三 分段函数模型 考点四 对勾函数模型 考点一 一元一次函数模型 1．（2023秋·安徽合肥·高一校考期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元． (1)若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式 (2)若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围． 2．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2023年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 3．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求： ①奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加； ②奖金不低于10万元且不超过200万元； ③奖金不超过投资收益的20%． (1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条奖励方案； (2)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； (3)已知函数符合公司奖励方