第一章 第5节 基本不等式-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第5节　基本不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养． 2．基本不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养． 3．基本不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　利用基本不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题 [必备知识] 1．基本不等式：≤. (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时取等号． (3)其中　　称为正数a，b的算术平均数，　　称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当　x＝y　时，x＋y有最小值是　2　(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当　x＝y　时，xy有最大值是　　(简记：和定积最大)． 　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　 ) (2)ab≤2成立的条件是ab＞0.(　　 ) (3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　 ) (4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　 ) (5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．设a>b>0，下列不等式不正确的是(　　 ) A．ab<　　　　 B．ab<2 C.> D. > 解析：C　[由a2＋b2≥2ab，a＋b≥2及a>b>0知，>ab，ab<2，选项A、B正确.<＝，选项D正确．故选C.] 2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：C　[依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.] 3．(多选题)(2023·杭州一中质检)若ab＜0，则(　　) A．a2＋b2≥2ab B．a＋b＜0 C．a(a－b)＞0 D.＞2 解析：AC　[∵ab＜0，即a，b异号，∴a2＋b2≥2ab成立，故A正确； 当a＝－，b＝4时，显然a＋b＜0不成立，故B错误； 又a(a－b)＝a2－ab＞0，故C正确； ＝＋≥2＝2. 当且仅当a＝－b时等号成立，故D不正确．故选：AC.] 4．(2023·济南市诊断性考试)若实数x，y满足lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则xy的最小值为　________　. 解析：依题意可知x＞0，y＞0，由lg x＋lg y＝lg(x＋y)得lg(xy)＝lg(x＋y)，得xy＝x＋y.由基本不等式得xy＝x＋y≥2，即xy－2＝(－2)≥0，(题眼) 所以≥2，xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以xy的最小值为4. 答案：4 5．已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为　________　. 解析：本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，∵a>0，b>0，∴a＋b>0，ab＝1，∴＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－，b＝2＋，或a＝2＋，b＝2－时，等号成立． 答案：4 考点一　利用基本不等式求最值(多维探究) [命题点1]　通过配凑法利用基本不等式 [典例]　(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为　________　. [解析]　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． [答案]　 (2)函数y＝(x>1)的最小值为　________　. [解析]　y＝＝ ＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． [答案]　2＋2 [命题点2]　通过常数代换法利用基本不等式 [典例]　若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8　　　　　　　 B．6 C．4 D．2 数学运算——基本不等式应用中的核心素养 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序