第一章 第4节 一元二次不等式及其解法-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第4节　一元二次不等式及其解法 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 1.一元二次不等式的解法，达成直观想象和数学运算素养． 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题，提升直观想象和数学运算素养． 3．一元二次不等式的实际应用，增强数学建模和数学运算素养 　　一元二次不等式、分式不等式的解法，及一元二次不等式的恒成立问题是高考的热点，常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合考查．题型多样，选择题或填空题考查解法及恒成立问题，难度不大，属于低中档题，解答题与导数结合，考查函数的单调性，难度中等及以上，属于中高档题 [必备知识] 1．一元二次不等式的图象解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数　大于　零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的　判别式　. (3)当　Δ≥0　时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的　交点　确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 　{x|x＜x1，或x＞x2}　 　　 　R　 ax2＋bx＋c＜0(a 　{x|x1＜x＜x2}　 　∅　 　∅　 ＞0)的解集 　简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 1.＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. 2.＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. 3.≥0等价于 4.≤0等价于 [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　 ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　 ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　 ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　 ) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．函数f(x)＝的定义域是(　　 ) A．(－∞，1)∪(3，＋∞)　　　 B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 解析：D　[由题意知即 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.] 2．不等式≤0的解集是(　　 ) A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2] 解析：D　[≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]，故选D.] 3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为(　　 ) A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞) C.∪(4，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[因为f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－3)＝0. 则当x＞3或x＜－3时，f(x)＜0；当－3＜x＜3时，f(x)＞0. 不等式(2x－5)f(x－1)＜0化为或. 所以或或 解得x＞4或x∈∅或－2＜x＜， 即－2＜x＜或x＞4，即原不等式的解集为∪(4，＋∞)．] 4．(2023·上海卷)不等式|x－2|＜1的解集为____________． 解析：|x－2|＜1⇒－1＜x－2＜1⇒1＜x＜3. 答案：(1,3) 5．已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为　________　. 解析：由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0， 即k2>2，∴k>或k<－. 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 考点一　一元二次不等式的解法(自主练透) [题组集训] 解关于x的不等式： (1)x2＋3x＋4＜0； (