第一章 第2节 充分条件与必要条件、量词-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第2节　充分条件与必要条件、量词 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 1.充分、必要条件的判断与应用，提升数学抽象和逻辑推理的素养． 2．全称量词命题、存在量词命题的真假判断，达成直观想象和逻辑推理的素养． 3．含有一个量词的命题的否定，形成和发展数学抽象的素养 　　充要条件的判断、全称量词命题、存在量词命题的真假判断以及对含有一个量词的命题进行否定是高考的热点，题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查考生的逻辑推理等能力 [必备知识] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的　充分条件　，q是p的　必要条件　 p⇒q p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且q p p是q的　必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 pq且q p 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“　∀　”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“　∃　”表示． 3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量 词命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 　∀x∈M，p(x)　 　∃x0∈M，綈p(x0)　 存在量 词命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 　∃x0∈M，p(x0)　 　∀x∈M，綈p(x)　 若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (2)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (3)存在一个集合，它里面没有任何元素．(　　) (4)“对顶角相等”是全称命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ [小题查验] 1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为(　　) A．∀n∈N，n2＞2n　　　　 B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 解析：C　[存在量词命题的否定为全称量词命题，故选C.] 2．(2023·威海市一模)已知p：方程x2－4x＋4a＝0有实根；q：函数f(x)＝(2－a)x为增函数，则p是q的　________　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：B　[方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈(－∞，1]；函数f(x)＝(2－a)x为增函数，故2－a＞1，∴a∈(－∞，1)，所以p是q的必要不充分条件．] 3．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：B　[甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上．故选B.] 4．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的　________　条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要 5．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为　________　. 解析：因为p是p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 答案：∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1 考点一　充分、必要条件的判断与应用(多维探究) [命题角度1]　充分、必要条件的判定　 1．(2023·福州二模)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若“m，n，