第三章 第3节 三角函数的图象与性质-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第3节　三角函数的图象与性质 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，正切函数在上的性质 1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养． 2．三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养 　　三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用 [必备知识] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 　　 　 值域 　[－1,1]　 　[－1,1]　 R 周期性 2π 　2π　 　π　 奇偶性 　奇函数　 偶函数 奇函数 递增 区间 　　　 　[2kπ－π，2kπ]　 递减 区间 　　 　　 　[2kπ，2kπ＋π]　 无 对称 中心 　(kπ，0)　 　　 对称轴 方程 x＝kπ＋ 　x＝kπ　 无 　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝sin x的图象介于直线y＝1与y＝－1之间．(　　 ) (2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．(　　 ) (3)函数y＝sin是奇函数．(　　 ) (4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　 ) (5)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[由题图知f＝cos ＝0，所以－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，化简得ω＝－(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即<2π<，所以1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时1<|ω|<2，所以ω＝，最小正周期T＝＝，故选C.] 2．下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　) A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 解析：A　[函数y＝cos 2x的周期为π，∴函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当＜x＜时，＜2x＜π，y＝cos 2x递减且为负值，∴函数f(x)＝|cos 2x|在区间上单调递增，故选A.] 3．(2021·全国新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[当x－∈，k∈Z时，函数单调递增，即x∈，k∈Z，故答案选A.] 4．(多选题)(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析：AD　[由题意得：f＝sin＝0， 所以＋φ＝kπ即：φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0＜φ＜π，所以k＝2时，φ＝， 故f(x)＝sin. 选项A：x∈时，2x＋∈， 由y＝sin u图象知y＝f(x)是单调递减的； 选项B：x∈时，2x＋∈，由y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点，由2x＋＝，可解得极值点； 选项C：x＝时，2x＋＝3π，y＝f(x)＝0，直线x＝不是对称轴； 选项D：由y′＝2cos＝－1得：cos＝－， 解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z 从而得：x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z 所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2cos＝－1， 切线方程为：y－＝－(x－0)即y＝