第三章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第2节　 同角三角函数的基本关系与诱导公式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．借助单位圆的对称性，能利用三角函数线推导出诱导公式(±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切) 1.同角三角函数的基本关系，发展数学抽象和数学运算素养． 2．三角函数的诱导公式，提升数学抽象和数学运算素养． 3．诱导公式、同角三角函数关系式的活用，提升数学抽象和数学运算素养 　　同角三角函数基本关系式及诱导公式多与和角、差角的正弦、余弦、正切公式及倍角公式综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的运算求解能力、等价转化能力及方程思想、整体思想的运用 [必备知识] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系：　＝tan α　. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 　－sin α　 　－sin α　 　Sin α　 　Cos α　 　Cos α　 余弦 cos α 　－cos α　 　Cos α　 　－cos α　 　sinα　 　－sin α　 正切 tan α 　tan α　 　－tan α　 　－tan α　 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 　对于±α，k∈Z诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)sin2θ＋cos2φ＝1.(　　 ) (2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．(　　 ) (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　 ) (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　　 ) (5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× [小题查验] 1．sin 2 025°的值为(　　 ) A．－　　B．－　　　C.　　　D. 解析：A　[sin 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＝ sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－]． 2．(2022·呼和浩特市一模)若sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值等于(　　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：D　[因为sin α＝，且α为第二象限角，得cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－.故选D.] 3．已知sin θ＋sin ＝1，则sin ＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[根据两角和的正弦公式展开sin θ＋sin ＝sin θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ＋cos θ＝sin ＝1 所以sin ＝.] 4．(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝　________　，cos 2β＝　________　. 解析：由题3sin α－sin β＝，α＋β＝， 所以3sin α－cos α＝，又∵sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝.所以cos 2β＝cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝. 答案：　 5.＝　________　. 解析：原式＝ ＝＝－1. 答案：－1 考点一　同角三角函数的基本关系(子母变式) [母题]　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值． [破题关键点]　(1)法一，利用已知条件及平方关系先求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．法二： 利用已知条件及平方关系先求出sin α－cos α的值，再求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．(2)先进行“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，再化弦为切求值． [解]　(1)法一：联立方程 由①得 cos α＝－sin α，将其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角， ∴∴tan α＝－. 法二：∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－＜0，且0＜α＜π， ∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos