第三章 第1节 任意角、弧度制及任意角-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养． 2．扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养． 3．三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养． 4．三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养 　　对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力 [必备知识] 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着　端点　从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad； ②1 rad＝　°　 弧长公式 弧长l＝　|α|r　 扇形面积公式 S＝　　lr＝　|α|r2　 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 　y　叫做α的正弦，记作sin α 　x　叫做α的余弦，记作cos α 　　叫做α的正切，记作tan α 各象 限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口决 一全正、二正弦、三正切、四余弦 三角 函数线 有向线段　MP　为正弦线 有向线段　OM　为余弦线 有向线段　AT　为正切线 1．任意角三角函数的定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 2．三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图 [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (4)不相等的角终边一定不相同．(　　) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　) (6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．(　　) (7)α∈，则tan α>α>sin α.(　　) (8)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√　(7)√　(8)√ [小题查验] 1．－870°角的终边在第几象限(　　) A．一　　　B．二　　　　C．三　　　　D．四 解析：C　[∵－870°＝－360°×3＋210°， ∴－870°与210°角终边相同． 又∵210°角的终边在第三象限， ∴－870°角的终边在第三象限．故选C.] 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　 ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：C　[与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．] 3．(2022·聊城模拟)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0 解析：D　[∵－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，∴－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限角或y轴负半轴上角，∴sin 2α<0.故选D.] 4．(人教A版教材练习改编)已知角θ的终边经过点P(－12,5)，则sin θ＝　____________　，cos θ＝　__________　，tan θ＝　________　. 答案：　－　－ 5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为　________　. 解析：设扇形的半径为R，则×4×R2＝2， ∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6. 答案：6 考点一　角的集合表示及象限角的判定(师生共研) [典例]　(1)若角θ的终边与角的终边相同，则