第二章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第12节　利用导数研究函数的极值、最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 3．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系 1.利用导数研究函数的极值，达成数学抽象和数学运算素养． 2．利用导数研究函数的最值，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．利用导数研究生活中的优化问题，发展数学建模和数学运算素养 　　函数的极值与最值是高考的热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及到方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是考查的热点内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大 [必备知识] 1．函数极值的概念 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是　极大值　. (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是　极小值　. 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求导函数f′(x)． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)列表，检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的函数值的符号，如果　左正右负　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果　左负右正　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． (4)得极值，由表得极大值与极小值． 3．求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　. (2)将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的　函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 4．利用导数求解实际问题中的优化问题 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案． 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可． (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质． (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 3．若函数f(x)在闭区间[a，b]内是单调函数， 则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图象连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　 ) (2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　 ) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　 ) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　 ) (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　 ) (6)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× [小题查验] 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　 ) A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x ＞1时，f′(x)＞0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．] 2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　 ) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 解析：A　[∵f′(x)＝3ax2＋b， ∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得经检验符合题意．] 3．(多选)(2023·曲师大附中模拟)定义：设f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(