第二章 第11节 利用导数研究函数的单调性-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第11节　利用导数研究函数的单调性 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次) 1.利用导数判断或证明函数的单调性，发展逻辑推理和数学运算素养． 2．利用导数求函数的单调区间，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．已知函数的单调性求参数的取值范围，提升逻辑推理和数学运算素养 　　利用导数研究函数的单调性是高考考查的热点内容，主要考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数确定函数的单调区间、已知函数的单调性求参数的取值范围等，考查转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法．题型主要以解答题为主，属于中高档题 [必备知识] 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内　单调递增　； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内　单调递减　； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是　常数函数　. 2．求函数单调区间的步骤 (1)求定义域． (2)求导． (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求单调递减区间． 1．f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； 2．若f(x)可导且f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(　　 ) (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(　　 ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内为常数函数．(　　 ) (4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样．(　　 ) [答案]　 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [小题查验] 1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 解析：A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数，其他判断均不正确．] 2．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是(　　 ) A．单调递增　　　　 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 解析：A　[在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．] 3．已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为(　　 ) A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，－2) D．(1，＋∞) 解析：A　[由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)， 知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2， 令f′(x)＜0，解得：－2＜x＜1，故选A.] 4．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的减区间为　________　. 答案：(－∞，0) 5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是　________　. 解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3. 答案：3 考点一　利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研) 分类讨论思想——分类与整合思想研究函数的单调性 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． [典例]　(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)＋sin x＜0，求a的取值范围． [解]　(1)因为a＝1，所以f(x)＝x－， x∈，则f′(x)＝1－＝1－＝＝， 令t＝cos x，由于x∈， 所以t＝cos x∈(0,1)， 所以cos3x＋cos2x－2＝t3＋t2－2＝t3－t2＋2t2－2＝t2(t－1)＋2(t＋1)(t－1)＝(t2＋2t＋2)(t－1)， 因为t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，t－1＜0， cos3x＝t3＞0， 所以f′(x)＝＜0