第二章 第8节 函数与方程-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第8节　函数与方程 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性 1.判断函数零点的个数，发展直观想象素养． 2．确定函数零点所在的区间，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．函数零点的应用，提升直观想象和逻辑推理素养 　　由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间，求方程的根，函数的零点个数，基本初等函数的图象是高考的热点．以函数的零点，方程的根及函数图象的交点之间的等价转化为桥梁，考查转化与化归思想，考查函数与方程思想，数形结合等思想．本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查的居多，在解答题中也有所体现，难度较大 [必备知识] 1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有　零点　. (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②　f(a)·f(b)<0　；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 　(x1,0)，　 　(x2,0)　 　(x1,0)　 无交点 零点个数 2 1 0 3.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且　f(a)·f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　一分为二　使区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示： 所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．若函数f(x)在(a，b)上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) 函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　 ) (2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　 ) (3) 函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　 ) (4) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　 ) (5) 若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　 ) 解析：C　[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C.] 2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　 ) A．(－2，－1)　　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：B　[易知f(x)＝2x＋3x在R上是增函数． 而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．故选B.] 3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　 ) A．0　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 解析：B　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．] 4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为　_____