第二章 第6节 二次函数与幂函数-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第6节　二次函数与幂函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 3．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题 1.幂函数的图象与性质，发展数学抽象和直观想象素养． 2．二次函数的最值问题，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．二次函数零点的分布问题，提升直观想象和逻辑推理素养 　　幂函数、二次函数的图象与性质是高考考查的热点内容，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查数形结合思想，这种思想方法常融合在函数的最值、函数零点的分布问题之中．主要以选择题或填空题的形式出现，属于低中档题，在解答题中常与导数的应用综合，属于中高档题 [必备知识] 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如　y＝xα　的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R 　[0，＋∞)　 {x|x≠0} 值域 R 　[0，＋∞)　 R [0，＋∞) 　{y|y≠0}　 奇偶性 　奇　 偶 　奇　 非奇非偶 奇 单调性 在R 上单调 递增 　在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞ 　在R上单调递增　 　在[0，＋∞)上单调递增　 　在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减　 )上单调递增　 公共点 　(1,1)　 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋ bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋ bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 　　 　　 单调性 在上单调递减； 在　　上单调递增 在　　上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 　一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是 [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　) (5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．(2022·济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　 ) A.　　　　　　　 B．1 C. D．2 解析：C　[由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.] 2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　 ) 解析：B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.] 3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　 ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 解析：A　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2.] 4．二次函数的图象与x轴只有一个公共点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为　__________　. 解析：∵函数图象与x轴只有一个交点，则顶点在x轴， ∴顶点是(3,0)． 设函数解析式为：y＝a(x－3)2 ∴3＝a(0－3)2，解得：a＝ 故答案为：y＝x2－2x＋3. 答案：y＝x2－2x＋3 5．若幂函数y＝(m2－3m＋3) 的图象不经过原点，则实数m的值为　________　. 解析：由，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合． 答案：1或2 考点一　幂函数的图象与性质(自主练透) [题组集训] 1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　 ) 解析：C　[令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝.] 2．已知，则(　　 ) A．b<a<c　　　　　　　　 B．a<b<c C