第二章 第5节 对数与对数函数-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第5节　对数与对数函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1) 1.对数的基本运算，发展数学运算素养． 2．对数函数的图象及应用，提升直观想象和数学运算素养． 3．对数函数的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　对数及对数的运算性质，以对数函数为载体的对数型函数的图象和性质，考查函数值的大小比较及单调性的应用，尤其是有关对数函数的复合函数是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 [必备知识] 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作　x＝logaN　，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为　10　 　lg N　 自然对数 底数为　e　 　ln N　 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③＝　N　； ④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)． (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②loga＝　logaM－logaN　； ③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)； ④＝logaM(m，n∈R，且m≠0)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：　logbN＝　(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝　logad　. 3．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 底 数 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：　R　 当x＝1时，y＝0，即过定点　(1,0)　 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0　 当x>1时，　y<0　； 当0<x<1时，　y>0　 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线　y＝x　对称． 　对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　 ) (2)log2x2＝2log2x.(　　 ) (3)当x>1时，logax>0.(　　 ) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　 ) (5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．(log29)·(log34)等于(　　) A.　　　B.　　　C．2　　　D．4 解析：D　[法一：原式＝·＝＝4. 法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.] 2．(2023·柳州模拟)设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：D　[由a＝50.3＞1＞b＝log0.30.5＞0＞c＝log30.4，∴c＜b＜a.故选D.] 3．已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　 ) 解析：B　[∵lg a＋lg b＝0，∴a＝，又g(x)＝－logbx＝＝logax(x>0)，∴函数f(x)与g(x)的单调性相同，故选B.] 4．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离