第二章 第4节 指数与指数函数-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第4节　指数与指数函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 1.根式与有理数指数幂的运算，提升数学运算素养． 2．指数函数的图象及应用，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．指数函数的性质及应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　幂的运算性质、指数函数的图象和性质是高考命题的热点，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 [必备知识] 1．根式 (1)概念：式子叫做　根式　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：()n＝　a　(a使有意义)；当n为奇数时，＝　a　，当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂　没有意义　. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝　ar＋s　；(ar)s＝　ars　；(ab)r＝　arbr　，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数　y＝ax(a>0且a≠1)　叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝1 当x>0时，　y>1　； 当x<0时，　0<y<1　 当x<0时，　y>1　； 当x>0时，　0<y<1　 在(－∞，＋∞)上是 　增函数　 在(－∞，＋∞)上是 　减函数　 1.()n＝a(n∈N*)． 2.＝ 3．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)与()n都等于a(n∈N*)．(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)函数y＝ (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．化简－(－1)0的结果为(　　 ) A．－9　　　 B．7　 C．－10　　 D．9 解析：B　[原式＝－1＝8－1＝7.] 2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是(　　 ) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：A　[∵y＝x＝2－x， ∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．] 3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0) 解析：A　[由a0＝1知，当x－1＝0，即x＝1时，f(1)＝5，即图象必过定点(1,5). 故选A.] 4．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析：D　[由y＝1.01x在R上递增， 则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在(0，＋∞)上递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.故选D.] 5．(2023·上海卷)已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为　________　. 解析：当x＞0时，y＝2x＞1，当x≤0时，y＝1，故值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 考点一　根式与有理数指数幂的运算(自主练透) [题组集训] 1．下列等式能够成立的是(　　) A.5＝　　　　 B.＝ C.＝ D.＝ 2．求值与化简． 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数，