第二章 第2节 函数的单调性与最值-【艺考生】2024高考数学艺考生文化课百日冲关教师用书word（新教材，人教版）

第2节　函数的单调性与最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽象和逻辑推理素养． 2．确定函数的单调区间，提升直观想象和逻辑推理素养． 3．确定函数的最值(值域)，发展直观想象和数学运算素养． 4．函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点，题型多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，属于低中档题，常与函数的图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，难度较大，属于中高档题．在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查 [必备知识] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有 　f(x1)<f(x2)　，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有 　f(x1)>f(x2)　，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是　上升的　 自左向右看图象是　下降的　 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是　增函数　或　减函数　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，　区间D　叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有　f(x)≤M　； (3)对于任意x∈I，都有　f(x)≥M_　； (2)存在x0∈I，使得 　f(x0)＝M　 (4)存在x0∈I，使得 　f(x0)＝M　 结论 M是f(x)的最大值 M是f(x)的最小值 1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数． 3．单调函数的运算性质 (1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： ①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数； ②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数； (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； ②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与有相反的单调性； ③若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性． 4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　 ) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　 ) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　 ) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　 ) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　 ) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．(2021·全国甲卷(文))下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　 B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：D　[AB递减，排除，C有增有减，排除，因此只有D正确．] 2．设定义在[－1,