专题4.5 等比数列的前n项和公式【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.5 等比数列的前n项和公式【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求等比数列的通项公式】 1 【题型2 等比数列前n项和的性质】 2 【题型3 求等比数列的前n项和】 2 【题型4 等比数列前n项和的最值问题】 3 【题型5 等比数列的实际应用】 4 【题型6 等差、等比数列的综合应用】 5 【题型7 数列的求和】 7 【知识点1 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 3．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 【题型1 求等比数列的通项公式】 【例1】（2023·全国·高二专题练习）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝（   ） A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·高二课时练习）已知等比数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【题型2 等比数列前n项和的性质】 【例2】（2023秋·云南·高三校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．90 B．135 C．150 D．180 【变式2-1】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 【变式2-2】（2023春·高二课时练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【变式2-3】（2023春·河南郑州·高二校考期中）正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 【题型3 求等比数列的前n项和】 【例3】（2023秋·广西百色·高三校联考阶段练习）已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．7 【变式3-1】（2023春·安徽合肥·高二校考阶段练习）已知数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）已知等比数列为递增数列，若，且与的等差中项为20，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和是，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 等比数列前n项和的最值问题】 【例4】（2023·全国·高三专题练习）记为等比数列的前n项和．已知，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 【变式4-1】（2023·北京·高三专题练习）记为等比数列的前n项和.已知，，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【变式4-2】（2023春·北京海淀·高三校考开学考试）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列存在最小项 D．数列存在最大项 【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（    ） A．数列为递增数列 B．数列为递减数列 C．数列有最小项 D．数列有最大项 【题型5 等比数列的实际应用】 【例5】（2023秋·福建宁德·高二校考阶段练习）我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设绿洲面积为万平方千米，第年绿洲面积为万平方千米. (1)求数列的通项公式； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过（参考数据：）？ 【变