九上专题4.2 等积式证明的常用方法-【学霸智慧课堂】2023-2024学年九年级全一册数学同步课堂（北师大版）

专题4.2等积式证明的常用方法 类型一三点定型法 1.如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,E为AC的中点，ED的延长线交CB的延长线于点 P.求证：PD=PB·PC D 类型二找相等的量（比、线段、等积式）代换 (一)找中间比 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AC,BD交于点O,BE∥AD交AC的延长线于点E.求证：OA= OC·OE. 3.如图，AD是∠BAC的平分线，交△ABC的边BC于点D,BH⊥AD,CK⊥AD,垂足分别为H,K.求证： AB·DK=AC·DH. 学霸之路始于《学霸》 25 份学霸智慧课堂歐学九年级上册(S) (二)找相等的线段 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F,∠ECA=∠D.求证： AC·BE=CE·AD. D 5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,CG∥AB,BG分别交AD,AC于点E,F,求证： BE=EF·EG. (三)找相等的等积式 6.如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上取一点P,连接AP,BG⊥AP,垂足为G, 交CE于点D.求证：CE=PE·DE. 类型三利用相似三角形的性质 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠CAB的平分线AE交CD于点F,交CB于点E 求证：AF·BC=CD·AE. 26 学霸之路始于《学霸》份学霸智慧课堂散学九年级上册(S) △APF△ABG是器怨 ∴.△ABH∽△ACK,△BHX∽△CKD 能跟柴跟能腺 .AB·DK=ACDH. PD-AD-AP-8-12-28 4.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 55 .BC=AD,∠B=∠D. 在R△PDF中，DF=PD+PF_4 又：∠ECA=∠D,∴∠ECA=∠B. 5 又：∠E=∠E..△EAC∽△ECB. 瓷是AC·BE=CEC (3)成立.理由如下： ,'.AC·BE=CE·AD 如图2，连接AG,AC 5.证明：连接EC. 由旋转的性质，得∠DAF=∠CAG AB=AC,AD⊥BC 由勾股定理，得AC=√AD+CD ·∠ABC=∠ACB,AD垂直平 =10,AG=5. 分BC. 图2 ∴BE=CE.∠1=∠2 ∴.∠ABC∠1=∠ACB-∠2.即 ADAF ∠3=∠4. AC AG CG∥AB,.3=∠G..∠4 ∴△ADF△ACG2咒-0-专 =∠G 又：∠CEF=∠GEC,∴.△CEF∽△GEC 14.C CEF 元.∴EC=EF·EG. 15.2/10 .BE=EF·EG 16.解：，AD为Rt△ABC斜边上的高. 6.证明：CEAB,,∠AEC=∠CEB=90 '.∠CAB=∠ADB=90°. 又∠B=∠B,'.△CBA∽△ABD. ∴∠1+∠CBE-90 :∠ACB=90°.∴.∠2+∠CBE=90 器品即品∴BD号 .∠2=∠1. 17.4 又，∠AEC=∠CEB,∴.△AEC△CEB. 18.7 噩CE=AE·BE 19.(1)证明：，∠B=∠ADE=∠C 'BG⊥AP,CE⊥AB ·∠BAD=180°-∠ADB-∠B. .∠P+∠PDG=90°，∠DBE+∠BDE=90°. ,'∠CDE=180-∠ADB-∠ADE, .∠BAD=∠CDE..△BDA∽△CED. 又：∠PDG=∠BDE,∴∠P=∠DBE 又，∠PEA=∠BED=9O°，.△PEAc∽△BED. 2)解：∠B=∠ADE=∠C,∠B=45° .△ABC是等腰直角三角形.∴.∠BAC=90° 能-張∴AE,BE=PEDE BC=2.∴AB=AC=√2. .CE=PE·DE ①当AD=AE时，∴·∠ADE=∠AED. 7.证明：，CD⊥AB,∠ACB=90, ∠B=45,∴.∠B=∠ADE=∠AED=45 ∴.∠AIDC=∠ACB=90. ∴∠DAE=90°.∴点D与点B重合，不合题意，舍去. 又，∠DAC=∠CAB,,△ACDn△ABC ②当AD=DE时，结合(1)中结论，可得△BDA≌△CED 又AF,AE分别为△ACD,△ABC的角平分线， (AAS). ∴.DC-AB=2.∴.BD-2-√2， ③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=45 .AF·BC=CD·AE 又∠C=∠B=45,.∴.∠ADC=90°，即AD⊥BC 专题4.3构造相似三角形解题 ,△ABC是等腰直角三角形，AB=AC, 1.证明：过点B作BF∥AC,交 BD=专BC=1. PD延长线于点F ,.∠1=∠PEC,∠FBP=∠ECP. 综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为2一√2或L, ,∴，△PBF∽△PCE 专题4.2等积式证明的常用方法 带器 1.证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB,