专题4.2 一次函数中的等腰三角形与直角三角形存在性问题-【学霸智慧课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步课堂（北师大版）

…专题提升练 专题4.2一次函数中的等腰三角形与 直角三角形存在性问题 类型一等腰三角形的存在性问题 1.在平面直角坐标系中，已知A(1,2),B(3,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形，则满足条件 的点C的个数是 () A.5 B.6 C.7 D.8 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x十b的图象与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,8) (1)求一次函数y=kx十b的表达式： (2)在x轴上是否存在点P,使得△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明 理由. 3直线y=kx一4与x轴y轴分别交于B,C两点，且品- (1)求点B的坐标和k的值： (2)若点A是第一象限内的直线y=kx一4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积 是12？ (3)在(2)成立的情况下，x轴上是否存在点P,使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标：若不 存在，请说明理由. 学霸之路始于《学霸》 15 份学霸智慧课堂歐学八年级上册(S) 类型二直角三角形的存在性问题 4.如图，已知直线y=kx一6经过点A(1,一4)，与x轴相交于点B,与y轴相交于点C,若点Q是y轴上一 点，且△ABQ是以边AB为直角边的直角三角形，求点Q的坐标. 5.如图，在平面直角坐标系中，过点A(0,6)的直线AB与直线OC相交于点C(2,4),动点P沿路线O→C~ B运动. (1)求直线AB对应的函数表达式： (2)是否存在点P,使△OBP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 16 学霸之路始于《学霸》份学霸智慧课堂数学八年级上册() 7号 .两直线交点F的坐标为（一2,1）. 【解析】作点A关于直线y=1的对 设D6.由中点坐标公式.得23=一2.生3-1，解得 2 称点A'(1,0), r=-1,y=-1. 连楼A'B交直线y=1于，点C .D(-1,-1). 此时AC十BC的值最小. 0412345x ∴.PC+PD的最小值为CD=√（一6+1）+(4+1)乎=52. 设直线A'B对应的函数表达式为 专题4.2一次函数中的等腰三角形与 y=kx+b, 直角三角形存在性问题 3 将1,0).(3.3)代入，得十-0：解得 2 13k+b=3, 1.C 3 【解析】：点A,B的坐标分别为(1,2)，(3,0. 故直线A'B对应的函数表达式为y 3 3 .AB=22 2- 2 ①若AC=AB,以A为圆心，AB为半径画孤与坐标轴有3 花Ca.lD代入可得a= 个交点(B点除外)，即满足△ABC是等腰三角形的C点有 3个 故答案为：3 5 ②若BC=AB,以B为圆心，BA为半径画孤与坐标轴有2 个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个： 8解：(1)对于一次函数y=2x十2，令x=0,得y=2:令y= ③若CA=CB,作AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点， 0,得x=一4 即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个 A(一4.0)，B(0,2).,∴.O0A=4,0B=2. 综上所述，点C在坐标轴上，使△ABC是等腰三角形，符合 ∴.AB=OA+OB=25. 条件的点C共有7个 故选：C (2)过点C作CE⊥x轴，可得 ∠ECA十∠CAE=90 2.解：(1)将A(6,0),B(0,8)代人y=kr+b, ,'△BAC为等腰直角三角形， 得/6+6=0， 解得 k=一3 ∴.AC=AB,且∠BAC=90 1b=8, b=8. ∴.∠CAE+∠OAB=90. .∠ECA=∠OAB. 一次函数的表达式为y=一青十8. ∠ECA=∠OAB, (2)存在. 在△ECA和△OAB中， ∠CEA=∠AOB, 由勾股定理，得AB=√OA+OB=10. CA-AB. 设点P(x,0), .△ECA≌△OAB(AAS). ①D当BP=BA,即BP=10时， ∴.CE=O0A=4,AE=OB=2.即OE=OA+AE=6. ,BP=V64+x,.64十x2=100. .点C的坐标为（一6,4）. .x=6(含去》或x=一6. 设直线BC对应的函数表达式为y=kx十b, .P(-6,0): 把B0,2)与C-6,4)代入，得一f+h=4解 k=一 ②当AP=AB,即AP=10时， 解得 1b=2. AP=6-x,.|6-x=10. .x=一4或x=16. 则直线BC对应的函数表达式为y=一子十2 .P(-4,0)或(16,0)： (3)作点D关于直线AB的对称点D',DD与AB相交于点 ③当PA=PB时， F,连接CD,交直线AB于点P,连接DP,此时CP+DP PB=√64+元，PA=6-x|, 最小 .6-x=√6+x. :点D为5C的中点，点D的坐标为(P2,2生).即 x=-子∴P(-子o) D-3