第七章随机变量及其分布（教师专用）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步单元检测卷（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 一、 单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知随机变量X~N(2,σ2),P(X≤4)=0.8,那么P(2≤X≤4)的值为(　　) A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.8 【解析】 已知随机变量X~N(2,σ2),P(X≤4)=0.8,则P(X<2)=0.5,根据正态密度曲线的对称性得出P(2≤X≤4)=P(X≤4)-P(X<2)=0.8-0.5=0.3.故选B. 【答案】 B 2. [2022·河南省信阳市高三阶段练习改编题]已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6.若一个这种元件使用到1年时还未损坏,则这个元件使用寿命超过2年的概率为(　　) A. 0.75 B. 0.6 C. 0.52 D. 0.48 【解析】 设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A,使用到2年时还未损坏为事件B,则由题意知P(AB)=0.6,P(A)=0.8,则在使用1年时还未损坏的情况下,这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)===0.75,故选A. 【答案】 A 3. 甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1,X2表示)的分布列如下: 甲得分: X1 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5 乙得分: X2 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 则甲、乙两人的射击技术相比 (　　) A. 甲更好 B. 乙更好 C. 甲、乙一样好 D. 不可比较 【解析】 因为E(X1)=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1,E(X2)=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2,所以E(X2)>E(X1),故乙的射击技术更好.故选B. 【答案】 B 4. 随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则P(Y≥4)为(　　) A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【解析】 由题意,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.657,解得p=0.3,则P(0<Y<2)=0.3,所以P(Y≥4)=P(Y≤0)=0.5-P(0<Y<2)=0.2.故选A. 【答案】 A 5. 设0<a<,0<b<,随机变量ξ的分布列为 ξ -1 0 1 P a b 则当a在内增大时(　　) A. E(ξ)增大,D(ξ)增大 B. E(ξ)增大,D(ξ)减小 C. E(ξ)减小,D(ξ)增大 D. E(ξ)减小,D(ξ)减小 【解析】 因为分布列中概率之和为1,可得a+b=,所以E(ξ)=-+b=-+=-a,所以当a增大时,E(ξ)减小,又由D(ξ)=(-1+a)2×+(0+a)2×a+(1+a)2×b=-+,可知当a在内增大时,D(ξ)减小.故选D. 【答案】 D 6. 高尔顿钉板是生物学家高尔顿设计的, 　第6题 如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层每个钉子的水平位置恰好位于下一层两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子.如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球,则其落在第③个格子的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】 小球从起点到第③个格子一共跳了7次,其中要向左边跳动5次,向右边跳动2次,而向左或向右的概率均为,则向右的次数服从二项分布,所以所求的概率P==.故选C. 【答案】 C 7. 某人一次投篮命中的概率为0.3,若此人投篮15次,最有可能命中的次数是 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】 投篮命中次数X~B(15,0.3),P(X=k)=·0.3k·0.715-k,设最有可能命中m次,则⇒⇒3.8≤m≤4.8,因为m∈Z,所以m=4.最有可能命中4次.故选B. 【答案】 B 8. 已知数列{an}满足a1=0,且对任意n∈N*,an+1等概率地取an+1或an-1.设an的值为随机变量ξn,则 (　　) A. P(ξ3=2)= B. E(ξ3)=1 C. P(ξ5=0)<P(ξ5=2) D. P(ξ5=0)<P(ξ3=0) 【解析】 依题意a2=1或a2=-1,且P(a2=1)=P(a2=-1)=,ξ3=a3的可能取值为2,0,-2,P(ξ3=2)=×=,P(ξ3=0)=2××=,P(ξ3=-2)=×=,E(ξ3)=2×+0×+(-2)×=0,由此排除A和B;ξ4=a4的可能取值为3,1,-1,-3,P(ξ4=3)=P(ξ3=2)=,P(ξ4=1)==,P(ξ4=-1)==