培优重难点专题 超几何分布的应用（2知识点+20题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

重难点培优专题：超几何分布的综合应用 超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 题型一：超几何分布在消费中的应用 【例题1-1】．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【变式1-1】．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图. (1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元； (2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少； (3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由. 题型二：超几何分布在机器人大赛中的应用 【例题2-1】．（2025·山东泰安·一模）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人多赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人每局比赛获胜的概率分别为. (1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求； (2)受机器人电池蓄航能力影向，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的数学期望. 【变式2-1】．（2024·新疆·二模）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为. (1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值． 【变式2-2】．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用PLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为. (1)在某次测试中输入了7个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这7个问题中抽取3个，以表示这抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； (2)已知输入的问题出现语法错误的概率为， （i）求ChatGPT的回答被采纳的概率； （ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率. 【变式2-3】．（22-23高三下·北京东城·阶段练习）人工智能是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了、两个研究性小组，分别设计和开发不同的软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”和“民族音乐”．为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案． 方案一：将首音乐随机分配给、两个小组识别．每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果； 方案二：对同一首音乐，、两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过． (1)若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占． （i）用频率估计概率，两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？ （ii）利用（i）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率： (2)若方案一的测试结果如下： 音乐类别 小组 小组 测试音乐数量 正确识别比例 测试音乐数量 正确识别比例 古典音乐 流行音乐 民族音乐 在小组、小组识别的歌曲中各任选首，记、分别为小组、小组正确识别的数量，试比较、的大小（直接写出结果即可）． 题型三：超几何分布在招聘中的应用 【例题3-1】．（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 题型四：超几何分布在检测中的应用 【例题4-1】．（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【变式4-1】．（24-25高三下·广东·开学考试）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为. 日均睡眠时长 5 6 7 8 9 小鼠数量 6 19 25 16 8 (1)求； (2)求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差； (3)从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列. 题型五：超几何分布在统计中的应用 【例题5-1】．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律，其中固定半径样点法是一种常见的统计方法，即记录以观测者为圆心的一定半径范围内所有鸟类个体，然后用鸟类统计数和样点总面积来计算鸟类密度的数量统计方法． (1)统计人员发现某鸟类在A区域经常出没，为了估计此类鸟的数量，采取固定半径样点法，其中鸟类密度（单位：只/平方米）的计算公式为，：鸟类密度，：所有样点记录鸟类数量的平均数，：每个样点区域面积，已知A区域的总面积为平方米，每个记录的样点区域半径为25米，样点数为10个，统计如下表 样点编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 鸟类数量 20 21 19 20 18 20 22 25 20 15 试估计A区域内该鸟类的总数量？（结果保留整数）参考数据：． (2)在A区域采取（1）中方法统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为I种和II种．由于（1）中每个样点记录的该鸟数量较少，统计人员重新在A区域随机捕获了50只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果．记第次试验中I种的数目为随机变量．设该区域中I种的数目为，II种的数目为． （i）求在第1次试验中随机变量的分布列； （ii）假设每一次试验均相互独立．统计人员完成所有试验后，得到的实际取值分别为，其平均值，方差．记随机变量．采用和分别代替期望和方差，试给出，的估计值（结果保留整数）． 参考公式：从含件次品的件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设抽取的件产品中次品数为，如果采取有放回抽样，则方差；如果采取不放回抽样，则方差为．随机变量与满足．若随机变量与相互独立，则． 题型六：超几何分布在竞赛中的应用 【例题6-1】．（24-25高三上·河南许昌·期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 【变式6-1】．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在一次知识竞赛中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的. (1)记选手甲正确作答的题目的个数为，乙正确作答的题目个数为，求，概率分布； (2)结合你所学过的概率知识说明：甲乙两名选手谁更优秀. 【变式6-2】．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望. 【变式6-3】．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学类题中只有4道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． (1)求该同学被终止比赛的概率； (2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望； (3)求该同学获得三等奖的概率． 【变式6-4】．（2023·陕西榆林·模拟预测）某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力． (1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率； (2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4×100米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选4×100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【变式6-5】．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题： (1)求小明在此次活动中至少中二等奖的概率； (2)若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少? 【变式6-6】．（22-23高二下·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【变式6-7】．（22-23高二下·辽宁鞍山·期中）现有A、B两个部门进行投篮比赛，A部门有4人参加，B部门有6人参加，已知这10人投篮水平相当，每人投中的概率都是p．比赛之前每人都进行投篮练习，投中则停止投篮练习，最多进行三次投篮练习．若甲投篮练习次，统计得知的数学期望是． (1)求p； (2)现从这10人中选出5人，每人投篮两次，设5人中能够投中的人数为，求的数学期望； (3)现从这10人中选出3人参加投篮练习，设A部门被选中的人数为，求的数学期望． 题型七：超几何分布在选拔中的应用 【例题7-1】．（24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； (2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 【变式7-1】．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【变式7-2】．（24-25高三上·北京·阶段练习）某市，两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生.中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛. (1)求中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望； (3)已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）. 【变式7-3】．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分． (1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差； (2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列． 题型八：超几何分布在摸球中的应用 【例题8-1】．（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【变式8-2】．（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【变式8-3】．（23-24高二下·山东济宁·期中）某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． (1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列； (2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 【变式8-4】．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小､形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和； (3)结合以上两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 【变式8-5】．（22-23高二下·福建宁德·期末）已知一个盒子中有除颜色外其余完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球现从盒子中不放回地随机摸取3次，每次摸取1个球． (1)求第二次摸出的球是红球的概率； (2)求取得红球数的分布列和期望． 【变式8-6】．（22-23高二下·安徽滁州·阶段练习）已知盒中放有个乒乓球，其中个是新的，个是旧的第一次比赛时，从中一次性任意取出个来用，用完后仍放回盒中新球用后成了旧球；第二次比赛时从中任意取出个． (1)记第一次比赛时从盒中取出的个球中旧球的个数为，求的分布列与数学期望； (2)求第二次比赛时取出的球为新球的概率． 题型九：超几何分布在闯关中的应用 【例题9-1】．（2025高三·全国·专题练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 题型十：超几何分布在农业中的应用 【例题10-1】．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【变式10-2】．（23-24高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 【变式10-3】．（23-24高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【变式10-4】．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查. (1)应从A，B，C三种水果各抽多少箱? (2)若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测. ①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望； ②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率. 题型十一：超几何分布在自然环境中的应用 【例题11-1】．（22-23高三上·河北唐山·开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【变式11-1】．（2023·河北衡水·一模）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示. 环境质量等级 土壤各单项或综合质量指数 灌溉水各单项或综合质量指数 环境空气各单项或综合质量指数 等级名称 清洁 尚清洁 超标 各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：    (1)若从这个村中随机抽取个进行调查，求抽取的个村应对土壤做进一步调研的概率； (2)现有一技术人员在这个村中随机选取个进行技术指导，记为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望. 题型十二：超几何分布在国家政策中的应用 【例题12-1】．（23-24高三下·北京·开学考试）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动．此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙．下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 运行列数 0.63 0.82 1.24 1.5 1.6 (1)计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数； (2)从2018年到2022年这5年中随机选取3年，运行列数大于1.24（单位：万列）有年，求的分布列和数学期望； (3)设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系．（结论不要求证明） 【变式12-1】．（23-24高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 (1)已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； (2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 【变式12-2】．（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【变式12-3】．（23-24高二上·江西南昌·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【变式12-4】．（2023·云南·模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.为了了解全民对于“学习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求抽出3人中男性员工人数的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：） 题型十三：超几何分布在产品等级中的应用 【例题13-1】．（24-25高二下·全国·课堂例题）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品． (1)若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为，求的分布列； (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为，求的分布列； (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为，求的分布列． 【变式13-1】．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 【变式13-2】．（23-24高二下·河南·期中）智能制造离不开精密的零件，某车间生产精密零件，按照包装每箱10个，某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量. (1)已知某箱零件中有2个次品，从中随机抽取3个零件检查，设随机变量为次品个数，求； (2)根据历年数据统计该车间生产的零件中，每箱有0个，1个，2个次品的概率分别为0.6，0.3，0.1，每箱随机检查3个零件，若发现有次品，则质检不合格，从某批次的产品中，任选一箱，求检测合格的概率. 【变式13-3】．（2022高二·全国·专题练习）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格率为，从中任意取出件进行检验，求至少有件是合格的概率. (2)若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任意取件进行检验，只有件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率. 题型十四：超几何分布在调查中的应用 【例题14-1】．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕．本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里，游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园． (1)若游客甲计划在6个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率，若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率． 题型十五：超几何分布在城市中的应用 【例题15-1】．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州. (1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率； (2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望； (3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果） 题型十六：超几何分布在网购中的应用 【例题16-1】．（2023·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 题型十七：超几何分布在现代支付中的应用 【例题17-1】．（2024·宁夏石嘴山·三模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 题型十八：超几何分布在药物残留中的应用 【例题18-1】．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比. 根据试验数据得到如下直方图： (1)求残留百分比直方图中的值； (2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)在体内药物残留百分比位于区间的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间的小鼠为只，求的分布列和期望. 题型十九：超几何分布在生活实际中的应用 【例题19-1】．（2023高三上·全国·专题练习）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4 200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度． 某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下： 用户 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电量/度 1000 1260 1400 1824 2180 2423 2815 3325 4411 4600 (1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费； (2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列． 【变式19-1】．（22-23高二下·河南安阳·期末）不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15 品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5 (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望. 【变式19-2】．（22-23高二下·浙江·期中）某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8. (1)计算王同学第二天去餐厅用餐的概率； (2)王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为，求的最大值，并求此时的值. 一．选择题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 2．（24-25高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（ ） A．X的分布列为 B．X的期望 C． D． 4．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．随机变量，则 B．随机变量，则当时概率最大 C．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件 D．袋中装有2个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中一次性摸出2个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 5．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25高二下·全国·开学考试）下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）为了检测某车间生产产品的质量，质检部安排A、两名质检员对该车间产品进行抽样检查，A质检员从生产流水线上随机抽取3件产品，质检员从事先选定的10件产品中随机抽取3件产品.假设该车间生产产品的次品率为0.2，事先选定的10件产品中有2件次品，设A、两名质检员抽取的产品中次品的件数分别为，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广东·期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（   ） A．X的分布列为 B．X的方差 C． D． 三、填空题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 10．（2024高三·全国·专题练习）超几何分布 一般地，若有总数为件的甲、乙两类物品，其中甲类有件，从所有物品中随机取出件，则这件中所含甲类物品数是一个离散型随机变量，能取不小于且不大于的所有自然数，其中是与中的较小者，在不大于乙类物品件数（即）时取0，否则取减乙类物品件数之差（即，而且 ，，，，，这里的称为服从参数为，，的超几何分布，记作. 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 12．（24-25高二下·全国·课后作业）某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人数为 ．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 四、解答题 13．（2025·河南·二模）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； (3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 14．（2025·北京·模拟预测）某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀. (1)从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； (2)从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率， 15．（2025高三·全国·专题练习）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望. 16．（24-25高二下·天津·阶段练习）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 17．（23-24高二下·山东滨州·期中）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)估计这100名学生的平均体育活动时间； (2)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (3)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求当为何值时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大？ 18．（2024·福建泉州·模拟预测）某社团对男女学生是否喜欢书法进行了一个随机调查，调查的数据如下表所示． 喜欢书法 不喜欢书法 男学生 24 32 女学生 16 24 根据调查数据回答： (1)有的把握认为性别与是否喜欢书法有关吗？ (2)若该社团某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动，记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19．（2024·吉林·二模）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：，） 20．（22-23高二下·河南郑州·期末）网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评、中评、差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，按年龄分为“40岁以下”和“40岁以上（含40岁）”两类人群进行了统计，得到给“好评、中评、差评”评价的人数如下表所示. 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 40岁以下 9000 3000 2000 40岁以上（含40岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到给“好评”评价的网民，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到给“好评”评价的网民，但抽取次数最多不超过5次，求抽取5次的概率； (2)从给“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记抽取的3人中年龄在40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望. 21．（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 22．（2024·山西·三模）袋中装有大小、形状、材质完全相同的n个小球，其中有个红球. (1)若，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量，求的方差 (2)从袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量，若的期望，方差，求; (3)若，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若，求红球占比估计值的误差不超过的概率. 参考数据: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0282 0.0121 0.0052 0.0022 0.0010 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优专题：超几何分布的综合应用 超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 题型一：超几何分布在消费中的应用 【例题1-1】．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)40；80；有关 (2)分布列见解析，1933 【难度】0.65 【知识点】卡方的计算、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望. 【详解】（1）消费金额不低于800元的人数为：人， 则活跃客户共有60人，所以，， 列联表如下 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 80 100 女 40 60 100 总计 60 140 200 计算， 因此有的把握与性别有关． （2）从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人， 从中抽取2人免单总金额的取值有：， 则，，， 所以的分布列为： 即. 【变式1-1】．（23-24高三下·上海浦东新·期中）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图. (1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元； (2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少； (3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由. 【答案】(1)405； (2)； (3)选取方案2，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、超几何分布的均值 【分析】（1）由频率分布直方图得出消费额不少于800元的频率，由此可计算出结论； （2）由频率分布直方图提供的概率及分层抽样的定义得出抽取的6人在两个区间中人数，再结合对立事件概率公式计算概率； （3）根据两个方案求出其付款的期望值，比较后可得．其中方案1每300元减小50元，计算出付款额，方案2由超几何分布概率公式分别求得抽取3次得奖次数分别是0，1，2，3的概率，再根据折扣计算出付款期望值． 【详解】（1）由频率分布直方图估计消费额不少于800元的客户人数约为，即约有405人； （2）由频率分布直方图抽取的6人中，有4人消费金额在区间上，有2人不少于1000元，因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为； （3）按方案1，小王实付款； 按方案2，小王抽奖3次，中1次奖的概率为，中2次奖的概率为，中3次奖的概率为，一次都不中的概率为， 因此本次购物小王付款的期望值为， 又，因此选取方案2较合适． 题型二：超几何分布在机器人大赛中的应用 【例题2-1】．（2025·山东泰安·一模）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人多赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人每局比赛获胜的概率分别为. (1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求； (2)受机器人电池蓄航能力影向，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的数学期望. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据独立事件互斥事件的概率公式可得，然后利用条件概率公式求解即可； （2）根据独立事件的概率公式和期望公可得，然后利用错位相减数列求和公式求解即可 【详解】（1）设前两轮比赛中得分为事件得分为事件， ， ， 由题意， 各轮比赛，各局比赛结果互不影响，与互斥， ， ， ； （2）由题意，， 设第轮两队比分为为事件， 各局比赛互不影响， ， ， 由题意，时，， 时，事件“”， 各轮比赛互不影响， ， ， ， 设， ， ， ， ， . 【变式2-1】．（2024·新疆·二模）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为. (1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）求出随机变量的所有取值以及每一个值发生的概率即可得的分布列，再根据数学期望的公式即可计算得解的数学期望. （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为事件，进而由已知以及全概率公式即可求解. 【详解】（1）由题可知的所有取值为2，3，4，且服从超几何分布， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 则． （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件， 由已知得，，，，，， 所以由全概率公式得， 解得． 【变式2-2】．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用PLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为. (1)在某次测试中输入了7个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这7个问题中抽取3个，以表示这抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； (2)已知输入的问题出现语法错误的概率为， （i）求ChatGPT的回答被采纳的概率； （ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值、条件概率性质的应用 【分析】（1）服从超几何概率分布，直接求解即可. （2）利用全概率公式求解ChatGPT的回答被采纳的概率；利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可. 【详解】（1）易知的所有取值为1，2，3， 此时，，， 所以的分布列为： 1 2 3 则； （2）（ⅰ）记“输入的问题没有语法错误”为事件A， 记“输入的问题有语法错误”为事件， 记“ChatGPT的回答被采纳”为事件， 易知， 所以，，， ； （ⅱ）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率 【变式2-3】．（22-23高三下·北京东城·阶段练习）人工智能是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了、两个研究性小组，分别设计和开发不同的软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”和“民族音乐”．为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案． 方案一：将首音乐随机分配给、两个小组识别．每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果； 方案二：对同一首音乐，、两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过． (1)若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占． （i）用频率估计概率，两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？ （ii）利用（i）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率： (2)若方案一的测试结果如下： 音乐类别 小组 小组 测试音乐数量 正确识别比例 测试音乐数量 正确识别比例 古典音乐 流行音乐 民族音乐 在小组、小组识别的歌曲中各任选首，记、分别为小组、小组正确识别的数量，试比较、的大小（直接写出结果即可）． 【答案】(1)（i）、研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为、；（ii） (2) 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、超几何分布的均值 【分析】（1）（i）根据题意计算出、两个研究性小组识别音乐正确和错误的数量，即可求得两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率； （ii）利用独立重复试验的概率公式、独立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，，根据超几何分布的期望公式可得出、的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：（i）对于方案一，设、两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为、， 首音乐中，正确被识别的数量为首，错误被识别数量为首， 其中组识别正确的数量为首，组识别正确的数量为首， 其中组识别错误的数量为首，组识别错误的数量为首， 故，； （ii）记事件方案二在一次测试中获得通过， 则. （2）解：由题意可知，小组识别正确的歌曲数量为首， 小组识别正确的歌曲数量为， 由题意可知，、均服从超几何分布，且，， 根据超几何分布的期望公式可得，， 因此，. 题型三：超几何分布在招聘中的应用 【例题3-1】．（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【难度】0.65 【知识点】利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题、离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的分布列 【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可； （2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可； （3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论. 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . （3）因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 题型四：超几何分布在检测中的应用 【例题4-1】．（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【答案】(1)①；② (2)； 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、超几何分布的均值、超几何分布的方差、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率. （2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差. 【详解】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． 【变式4-1】．（24-25高三下·广东·开学考试）为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为. 日均睡眠时长 5 6 7 8 9 小鼠数量 6 19 25 16 8 (1)求； (2)求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差； (3)从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据样本极差，数量直接计算即可； （2）根据方差公式计算； （3）运用超几何分布求概率，得到分布列. 【详解】（1）因为样本极差为，. （2）求得参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为， 所以方差. （3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为，故可能值为. 则的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长均为7， 的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长分别为6，8， 故， ， ， 故的分布列为 0 1 2 题型五：超几何分布在统计中的应用 【例题5-1】．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律，其中固定半径样点法是一种常见的统计方法，即记录以观测者为圆心的一定半径范围内所有鸟类个体，然后用鸟类统计数和样点总面积来计算鸟类密度的数量统计方法． (1)统计人员发现某鸟类在A区域经常出没，为了估计此类鸟的数量，采取固定半径样点法，其中鸟类密度（单位：只/平方米）的计算公式为，：鸟类密度，：所有样点记录鸟类数量的平均数，：每个样点区域面积，已知A区域的总面积为平方米，每个记录的样点区域半径为25米，样点数为10个，统计如下表 样点编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 鸟类数量 20 21 19 20 18 20 22 25 20 15 试估计A区域内该鸟类的总数量？（结果保留整数）参考数据：． (2)在A区域采取（1）中方法统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为I种和II种．由于（1）中每个样点记录的该鸟数量较少，统计人员重新在A区域随机捕获了50只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果．记第次试验中I种的数目为随机变量．设该区域中I种的数目为，II种的数目为． （i）求在第1次试验中随机变量的分布列； （ii）假设每一次试验均相互独立．统计人员完成所有试验后，得到的实际取值分别为，其平均值，方差．记随机变量．采用和分别代替期望和方差，试给出，的估计值（结果保留整数）． 参考公式：从含件次品的件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设抽取的件产品中次品数为，如果采取有放回抽样，则方差；如果采取不放回抽样，则方差为．随机变量与满足．若随机变量与相互独立，则． 【答案】(1)1280只 (2)（i）；（ii）， 【难度】0.15 【知识点】计算几个数的平均数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）根据公式直接计算即可 （2）（i）利用超几何分布求解即可；（ii）利用题目给的方差公式结合第（ⅰ）中的结论，求出，，然后列方程求解即可. 【详解】（1）由表计算知， A区域内该鸟类的总数量（只）． （2）（i）依题意，均服从完全相同的超几何分布， 故的分布列为 （为整数，且） （ii）由题可知， 则，方差， 所以． 依题意有解得，． 【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解. 题型六：超几何分布在竞赛中的应用 【例题6-1】．（24-25高三上·河南许昌·期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）；（ii） 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出的取值及对应的概率可得分布列，再结合分布列计算可得答案； （2）（i）由利用导数求出最大值可得答案；（ii）分析每名学生获得的奖金的期望，求和解不等式即可. 【详解】（1）由已知的取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 甲进入决赛的概率为； （2）（i）由题意得， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 可得的最大值为； （ii）由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， 所以，， ，， 所以 ， 可得，即， 整理得， 由， 得， 解得. 【点睛】关键点睛：第二问解题关键点是利用导数研究单调性，可得极大值. 【变式6-1】．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在一次知识竞赛中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的. (1)记选手甲正确作答的题目的个数为，乙正确作答的题目个数为，求，概率分布； (2)结合你所学过的概率知识说明：甲乙两名选手谁更优秀. 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲选手更优秀 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）先求出两个变量的取值及对应的概率，然后根据概率分布的概念列出概率分布. （2）分别求，的期望和方差，分析甲乙的平均水平和稳定性，可得结论. 【详解】（1）对甲：的值可能为：1，2，3. 且，，. 所以的概率分布为： 1 2 3 对乙：的值可能为：0,1,2,3. 且，， ，. 所以的概率分布为： 0 1 2 3 （2）由（1）得： ，. 所以. 又， . 因为，所以甲选手的发挥更稳定，所以，甲选手更优秀些. 【变式6-2】．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析；. 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用条件概率求解. （2）明确的可能取值，求出相应的概率，可得的分布列，进而求的数学期望. 【详解】（1）设“汤姆选择中有200米服务”为事件；“汤姆选择中有1500米服务”为事件， 则，， 所以. （2）的值可能为：0，1，2，3. 且， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【变式6-3】．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学类题中只有4道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． (1)求该同学被终止比赛的概率； (2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望； (3)求该同学获得三等奖的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率、二项分布的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意，第一轮中该同学只答对1道则被终止比赛，计算概率即可； （2）分析得的所有可能取值，分别求出概率，即可得出分布列，进而得出数学期望； （3）分析该同学获得三等奖的所有情况，再计算概率即可． 【详解】（1）从类道题中任选道，其中1道会做，2道不会做，则被终止比赛， 所以该同学被终止比赛的概率为． （2）由题意可知，的所有可能取值为90,60,30,0， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 所以． （3）该同学获得三等奖，共有两种情况， 第一轮得20分（答对2道），则第二轮得60分（对2道）， 概率为； ②第一轮得30分（答对3道），则第二轮得60分（对2道）， 概率为， 所以该同学获得三等奖的概率为． 【变式6-4】．（2023·陕西榆林·模拟预测）某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力． (1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率； (2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选4×100米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选4×100米接力的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见详解，. 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、超几何分布的均值 【分析】（1）小明选择60米袋鼠跳服务为事件，小明选择3000米服务为事件，利用组合知识和古典概型概率公式求出，然后由条件概率公式可得； （2）根据超几何分布概率公式计算可得分布列，再由期望公式可得数学期望. 【详解】（1）记小明选择60米袋鼠跳服务为事件，小明选择3000米服务为事件， 则，， 所以， 即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率为. （2）由题知，的所有可能取值为， 由超几何分布概率公式得： ， . 得随机变量X的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【变式6-5】．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题： (1)求小明在此次活动中至少中二等奖的概率； (2)若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望（X表示在一次抽取中所获的奖金数），则特等奖的奖金为多少? 【答案】(1) (2)元 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的均值 【分析】（1）由古典概型的概率公式结合组合数公式可得答案； （2）由超几何分布的概率公式求出X为0，495，990，1485，b的概率，再利用期望公式结合求答案即可. 【详解】（1）设小明在此次活动中至少中二等奖为事件A， 则 ； （2）由题意可知X的可能取值为0，495，990，1485，b． 则，，，，， 其分布列为： X 0 495 990 1485 b P 所以， 解得， 所以特等奖的奖金为元． 【变式6-6】．（22-23高二下·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的方差、超几何分布的方差、超几何分布的均值 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． （3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 【变式6-7】．（22-23高二下·辽宁鞍山·期中）现有A、B两个部门进行投篮比赛，A部门有4人参加，B部门有6人参加，已知这10人投篮水平相当，每人投中的概率都是p．比赛之前每人都进行投篮练习，投中则停止投篮练习，最多进行三次投篮练习．若甲投篮练习次，统计得知的数学期望是． (1)求p； (2)现从这10人中选出5人，每人投篮两次，设5人中能够投中的人数为，求的数学期望； (3)现从这10人中选出3人参加投篮练习，设A部门被选中的人数为，求的数学期望． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由条件求随机变量的分布列，由期望公式求期望，由条件列方程求； （2）先求每人至少投中一次的概率，由此可得的分布列，再由二项分布期望公式求解； （3）先求的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）由已知的取值有1，2，3， 所以，，， 所以的分布列为 1 2 3 ， 由于，， 因为，所以； （2）依题意，每人投中一次的概率， 所以，每人至少投中一次的概率为， 随机变量的取值有，服从二项分布， ； （3）可取， ，， ，，     ． 题型七：超几何分布在选拔中的应用 【例题7-1】．（24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. (1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； (2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②. 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，求出、的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率； 解法二：确定数学成绩超过分的学生人数，以及数学成绩超过分中总成绩超过分的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）①分析可知的可能取值有：、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求出的值； ②由题意可知，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则， 记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则， 所以. 即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为； 解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人， 所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为 （2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的， 所以所有可能的取值为：、、、， ，， ，. 所以的分布列为： . ②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的， 按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以. 【变式7-1】．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【答案】(1)分布列见解析， (2)N至少为145 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、超几何分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人， 服从超几何分布，， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）由题意，男性员工有人，女性员工有人， 则， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在上单调递增，且， 从而在时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【变式7-2】．（24-25高三上·北京·阶段练习）某市，两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生.中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛. (1)求中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望； (3)已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 (3) 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可； （2）6名男队员中有A，B中学各3人，所以选3人来自A中学的人数X可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望； （3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a的取值范围. 【详解】（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全部从B中学中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为. 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为. （2）根据题意得，X的可能取值为0，1，2，3. 则， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 因此，X的数学期望. （3）3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为， 3名女生的比赛成绩为77，，81，平均值为， 所以， 即， 代入检验，可知最小为74，最大，故， 即的取值范围. 【变式7-3】．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分． (1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差； (2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】均值的性质、方差的性质、超几何分布的分布列 【分析】（1）设甲答对题目的数目为，则，所以，根据二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算可得； （2）设乙答对题目的数目为，则服从超几何分布，且，根据超几何分布的概率公式求出分布列. 【详解】（1）设甲答对题目的数目为，则， 可得， 又因为， 所以，. （2）设乙答对的题目数为，可知的可能取值为0，1，2，3，4， 则，则有： ， ， ， 所以的分布列为： 10 25 40 题型八：超几何分布在摸球中的应用 【例题8-1】．（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 【变式8-2】．（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 【变式8-3】．（23-24高二下·山东济宁·期中）某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元． (1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列； (2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值． 【答案】(1) 0 1 2 (2)120元 【难度】0.85 【知识点】均值的性质、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）求出的所有可能取值及对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上求出，由得到. 【详解】（1）的所有可能取值为，则， ，， 所以摸到红球个数的分布列为 0 1 2 （2）由题意得：摸球一次得到的压岁钱， 由（1）得， 所以， 故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为120元． 【变式8-4】．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小､形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数. (1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和； (2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和； (3)结合以上两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、二项分布的均值、二项分布的方差、超几何分布的分布列 【分析】（1）利用二项分布的期望与方差公式计算即可得； （2）求出的所有可能取值与对应概率，即可得其分布列，即可得其期望； （3）根据二项分布与超几何分布的特征即可得到. 【详解】（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量， 所以，； （2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次， 且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量服从超几何分布， 则， 可得， 所以的分布列为： 2 3 4 ； （3）区别： (1) 超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题. (2) 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题. 联系： 二项分布与超几何分布都可以描述随机变量的分布规律,并且二者的均值相同， 当调查研究的样本容量非常大时，对于不放回抽样，每抽一次后对的影响很小，超几何分布可以用二项分布近似. 【变式8-5】．（22-23高二下·福建宁德·期末）已知一个盒子中有除颜色外其余完全相同的5个球，其中2个红球，3个白球现从盒子中不放回地随机摸取3次，每次摸取1个球． (1)求第二次摸出的球是红球的概率； (2)求取得红球数的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）解法一，利用全概率公式即可求解；解法二，利用古典概型概率公式结合排列数即可求解； （2）由题意可得，根据超几何分布的分布列即可求解分布列及期望. 【详解】（1）解法一：设表示第1次摸到红球，设表示第2次摸到红球， ， 所以第二次摸出的球是红球的概率是． 解法二：设事件表示第二次摸出的球是红球， ，即， 所以第二次摸出的球是红球的概率是． （2）从5个球中摸取3个球，用表示抽到的红球数，则， 所以，，， 所以分布列： 0 1 2 所以取得红球数的期望为． 【变式8-6】．（22-23高二下·安徽滁州·阶段练习）已知盒中放有个乒乓球，其中个是新的，个是旧的第一次比赛时，从中一次性任意取出个来用，用完后仍放回盒中新球用后成了旧球；第二次比赛时从中任意取出个． (1)记第一次比赛时从盒中取出的个球中旧球的个数为，求的分布列与数学期望； (2)求第二次比赛时取出的球为新球的概率． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率 【分析】1从盒中取出的个球中旧球的个数的所有可能取值为，，，，根据等可能事件的概率公式可求，然后结合分布列公式及期望公式可求； 2设事件表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的个球中有个新球，其，，，，结合条件概率全概率公式可求． 【详解】（1）依题意，从盒中取出的个球中旧球的个数的所有可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 方法二：由题得服从超几何分布，所以 （2）设事件表示第二次比赛时取出的球为新球，事件为第一次比赛时取出的个球中有个新球，其，，，， 由1可得，，，， 根据题意，，，，， 所以根据全概率公式可得． 题型九：超几何分布在闯关中的应用 【例题9-1】．（2025高三·全国·专题练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲比乙闯关成功的可能性大 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大. 【详解】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则． （2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲闯关成功的概率为．因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大． 题型十：超几何分布在农业中的应用 【例题10-1】．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）由题意可知，选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为，进而由二项分布即可求解； （2）由题意可得A级苹果有6箱，级苹果共有4箱，进而由超几何分布可得分布列和数学期望. 【详解】（1）设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. （2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为, 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 . 【变式10-2】．（23-24高二下·北京大兴·期末）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）首先求出抽一次抽到礼品果的概率，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，根据二项分布的概率公式计算可得； （2）依题意的可能的取值为，，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望. 【详解】（1）设从这个水果中随机抽取个，其为礼品果为事件，则， 现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则， 所以恰好有个水果是礼品果的概率为. （2）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个， 其中精品果有个，非精品果有个， 再从中随机抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，，，， 所以，， ，； 的分布列为： 0 1 2 3 则. 【变式10-3】．（23-24高二下·重庆·期中）奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3),. 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、二项分布的均值、二项分布的方差、超几何分布的分布列 【分析】（1）依题意，运用古典概率公式即可求得其概率； （2）根据题意得到的可能值为0，1，2，3，利用超几何分布概率公式求得相关概率，列出分布列，计算出数学期望即可； （3）由分析可得，随机变量，利用二项分布概率的相关公式即可求得数学期望和方差. 【详解】（1）因这100个脐橙中一级果有40个，则从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率为； （2）按照比例分配的分层随机抽样，所抽取的10个脐橙中，分别是二级果，一级果，特级果的个数依次为3个，4个，3个， 再抽取3个脐橙中特级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则；；；. 则X的分布列为： 0 1 2 3 则； （3）依题，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个脐橙，是二级果的个数满足， 于是Y的期望是,Y的方差为. 【变式10-4】．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查. (1)应从A，B，C三种水果各抽多少箱? (2)若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测. ①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望； ②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)①分布列见详解，；② 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、利用对立事件的概率公式求概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据题意结合分层抽样的性质分析求解； （2）①根据题意结合超几何分别求分布列和期望；②根据题意利用对立事件以及①中结果运算求解. 【详解】（1）由题意知：， 所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱. （2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有： ，， ，， ， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以随机变量X的期望为； ②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”， 所以. 题型十一：超几何分布在自然环境中的应用 【例题11-1】．（22-23高三上·河北唐山·开学考试）台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【答案】(1)均值为15，方差为1.66. (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据均值与方差的概念，计算即可求解； （2）根据超几何分布及古典概型的概率公式即可求解． 【详解】（1）， 估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， ， 估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66； 均值为15，方差为1.66. （2）小时，18小时两组的频率之比为， 在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， 可取0，1，2，3. ；； ；； 的分布列为 0 1 2 3 【变式11-1】．（2023·河北衡水·一模）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示. 环境质量等级 土壤各单项或综合质量指数 灌溉水各单项或综合质量指数 环境空气各单项或综合质量指数 等级名称 清洁 尚清洁 超标 各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：    (1)若从这个村中随机抽取个进行调查，求抽取的个村应对土壤做进一步调研的概率； (2)现有一技术人员在这个村中随机选取个进行技术指导，记为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析；数学期望 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、计算古典概型问题的概率、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据折线图可得应对土壤做进一步调研的村子个数，结合组合数知识可求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果； （2）根据折线图可得环境空气等级为尚清洁的村子个数，由此可得所有可能的取值，由超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值. 【详解】（1）由折线图可知：应对土壤做进一步调研的村共个， 从个村中随机抽取个进行调查，基本事件总数有个； 其中抽取的个村应对土壤做进一步调研的基本事件个数有个， 所求概率. （2）由折线图可知：环境空气等级为尚清洁的村共有个，则所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 数学期望. 题型十二：超几何分布在国家政策中的应用 【例题12-1】．（23-24高三下·北京·开学考试）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动．此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙．下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 运行列数 0.63 0.82 1.24 1.5 1.6 (1)计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数； (2)从2018年到2022年这5年中随机选取3年，运行列数大于1.24（单位：万列）有年，求的分布列和数学期望； (3)设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)万列 (2)分布列见解析；期望为 (3) 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）由平均值的计算公式计算可得； （2）由超几何分布的概率计算得到分布列，由数学期望的计算公式得到数学期望； （3）观察五个数据的离散程度，对方差的大小进行判断. 【详解】（1）从2018年到2022年运行列数的平均值为 ． 所以中欧班列从2018到2022年的平均运行列数为万列． （2）可能的取值为． ，，． 随机变量的分布列为 随机变量的期望为． （3）. 证明：设2018年，2019年，2020年运行列数的平均数为， 2020年，2021年，2022年运行列数的平均数为， 从2018年到2022年这5年的运行列数的平均数为， 则，，， ， ， ， 所以. 【变式12-1】．（23-24高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 (1)已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； (2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)7 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）由题意可得服从超几何分布，其中，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，从而可求出的分布列和数学期望； （2）由题意求出从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为，则，然后利用二项分布的概率公式列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得服从超几何分布，其中， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （2）由题意可得从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为， 则，即， 所以， 令，得， 令，得， 所以， 因为，所以当时，最大. 【变式12-2】．（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的方差、求超几何分布的概率 【分析】（1）利用超几何分布的概率计算公式计算即可得解； （2）计算超几何分布的期望与方差即可得. 【详解】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则. 所以甲老师答对2个问题的概率为. （2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8， ，，， 则， . 【变式12-3】．（23-24高二上·江西南昌·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的实际应用、超几何分布的分布列 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）先求出每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有， ，， ，， 所以的分布列为 . （2）因为甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率为， 由，又，得到， 则，又，所以， 令，则，当时，取到最大值为， 要使答题轮数取得最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值， 设甲、乙两人在轮答题中取得胜利的次数为，则， 所以，由，解得， 又，则，理论上至少要参加11轮竞赛. 【变式12-4】．（2023·云南·模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.为了了解全民对于“学习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求抽出3人中男性员工人数的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：） 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布 【难度】0.65 【知识点】二项分布的均值、超几何分布的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人. 服从超几何分布，， ，， ，， ∴的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. （2）， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在处有极小值， 从而当时单调递增， 又，. 因此当时符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是. 即N至少为145时， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 题型十三：超几何分布在产品等级中的应用 【例题13-1】．（24-25高二下·全国·课堂例题）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品． (1)若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为，求的分布列； (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为，求的分布列； (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为，求的分布列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意可得的可能取值，且服从两点分布，根据两点分布计算其概率，列出分布列即可； （2）根据题意可得满足二项分布，建立二项分布模型，得出的可能取值，利用二项分布分别计算其概率，列出分布列即可； （3）根据题意可得满足超几何分布，建立超几何分布模型，得出的可能取值，分别计算其概率，列出分布列. 【详解】（1）若只抽取1件，则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况，故的取值只有0和1两种情况，服从两点分布， ，则． 因此随机变量的分布列为 0 1 （2）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3次独立重复试验， 因此，所以， ，， ． 因此随机变量的分布列为 0 1 2 3 （3）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品的件数服从参数10，3，3的超几何分布， 即， 所以从10件产品中任取3件，其中恰有件一等品的概率为，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 【变式13-1】．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）． (1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望； (2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)，， 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、二项分布的均值、二项分布的方差、超几何分布的分布列 【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望. （2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得. 【详解】（1），，，， 故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线， 则的所有可能取值为、、， ， ， ， 则其分布列为： 则； （2）由题意可得， 则 ， ，. 【变式13-2】．（23-24高二下·河南·期中）智能制造离不开精密的零件，某车间生产精密零件，按照包装每箱10个，某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量. (1)已知某箱零件中有2个次品，从中随机抽取3个零件检查，设随机变量为次品个数，求； (2)根据历年数据统计该车间生产的零件中，每箱有0个，1个，2个次品的概率分别为0.6，0.3，0.1，每箱随机检查3个零件，若发现有次品，则质检不合格，从某批次的产品中，任选一箱，求检测合格的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、求超几何分布的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意可知：随机变量的可能取值有0，1，2，结合超几何分布求相应的概率，进而可求期望； （2）记抽到0个，1个，2个次品的箱子分别为事件，检测合格为事件，由题意可得，，利用全概率公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能取值有0，1，2，则： ， 可知. （2）记抽到0个，1个，2个次品的箱子分别为事件，检测合格为事件， 则， 且， 由全概率公式可得：. 所以检测合格的概率为. 【变式13-3】．（2022高二·全国·专题练习）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格率为，从中任意取出件进行检验，求至少有件是合格的概率. (2)若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任意取件进行检验，只有件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，概率为 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、独立重复试验的概率问题、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，利用对立事件的概率公式可求得商家拒收这批产品的概率. 【详解】（1）解：记“厂家任意取出件产品检验，其中至少有一件是合格品”为事件， 则. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值为、、， ，，， 因此，随机变量的概率分布列为 由题意可知，商家拒收这批产品的概率为. 题型十四：超几何分布在调查中的应用 【例题14-1】．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕．本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园、26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里，游客可通过乘坐观光车、骑自行车和步行三种方式游园． (1)若游客甲计划在6个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率，若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2)0.4 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据题意结合全概率公式运算求解. 【详解】（1）由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. （2）记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4. 题型十五：超几何分布在城市中的应用 【例题15-1】．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州. (1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率； (2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望； (3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、二项分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据古典概型直接求概率； （2）根据超几何分布求得X取值对应的概率，得到分布列和期望； （3），运用二项分布期望公式求得，即可得到二者相等. 【详解】（1）10个超大城市中包含4个一线城市， 所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为. （2）10个超大城市中包含6个新一线城市， X所有可能的取值为：. ；； ；. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （3） 理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市， 随机变量，，所以. 题型十六：超几何分布在网购中的应用 【例题16-1】．（2023·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、超几何分布的方差 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出； （3）根据方差公式计算可知，． 【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则. （2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ，， ， 所以． （3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布， ，，， ，，， 因为，， 可得， ， 所以． 题型十七：超几何分布在现代支付中的应用 【例题17-1】．（2024·宁夏石嘴山·三模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 【答案】(1)68 (2)①分布列见详解，；②选择方案二更划算. 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据直方图估算平均数的方法直接计算即可； （2）①先确定X的取值，然后根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②确定实际付款金额Y的值，然后根据所给概率写出分布列，即可计算出期望，通过比较期望大小即可作出判断. 【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为： . （2）①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为； 摸到个红球，返消费金额的，实际付款为， 所以的可能取值为， 因为， 所以， 的分布列为： X 800 900 1000 P 所以（元）. ②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为， 因为， 所以，Y的分布列为： Y 800 900 950 P 所以，（元） 因为，所以选择方案二付款更划算. 题型十八：超几何分布在药物残留中的应用 【例题18-1】．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比. 根据试验数据得到如下直方图： (1)求残留百分比直方图中的值； (2)估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)在体内药物残留百分比位于区间的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间的小鼠为只，求的分布列和期望. 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析，. 【难度】0.85 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值、由频率分布直方图估计平均数、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据频率之和等于1列式求解即可； （2）根据直方图计算平均数的公式计算可得； （3）先根据百分比在区间和上的小鼠个数，根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，然后可得期望. 【详解】（1）由题知，， 解得. （2）由图知，. （3）体内药物残留百分比位于区间内的频率为，位于内的频率为. 则百分比位于区间内的小鼠有10只，位于内的小鼠有5只， X的所有取值为0,1,2,3， 所以，， ，， 所以，的分布列如下： 0 1 2 3 由期望公式得. 题型十九：超几何分布在生活实际中的应用 【例题19-1】．（2023高三上·全国·专题练习）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4 200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度． 某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下： 用户 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电量/度 1000 1260 1400 1824 2180 2423 2815 3325 4411 4600 (1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费； (2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列． 【答案】(1)2822.38 (2)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率、求分段函数值 【分析】（1）根据阶梯电价的计算标准，分段计算编号为10的用户一年的用电费用，即得答案； （2）确定第二阶梯的户数，设取到第二阶梯的户数为X，确定其可能的取值，根据超几何分布的概率计算，求出每个值相应的概率，即可得分布列. 【详解】（1）(因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元， 第三档电价比第一档电价每度多0.3元， 编号为10的用户一年的用电量是4600度， 所以该户该年应交电费为 (元)． （2）设取到第二阶梯的户数为X， 易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4. ，，， ，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 【变式19-1】．（22-23高二下·河南安阳·期末）不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15 品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5 (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为. 【难度】0.85 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、超几何分布的均值 【分析】（1）利用超几何分布和独立事件的概率乘法公式求解； （2）利用超几何分布概率模型求解. 【详解】（1）设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件； 所以选出的4间均为普通型民宿的概率为. （2）这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家， 随机变量的可能取值有， 则 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以. 【变式19-2】．（22-23高二下·浙江·期中）某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8. (1)计算王同学第二天去餐厅用餐的概率； (2)王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为，求的最大值，并求此时的值. 【答案】(1)0.7 (2)或10时，有最大值为 【难度】0.85 【知识点】求超几何分布的概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据条件概率公式和全概率公式求解即可； （2）利用超几何分布表示出，列出不等式即可求最大值. 【详解】（1）设“第一天去餐厅用餐”，“第一天去餐厅用餐”， “第二天去A餐厅用餐”， 根据题意得， 由全概率公式，得：， 所以，王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.7. （2）由题意，的可能取值有：0，1，2，3， 由超几何分布可知， 令，若最大，则， 即，解得， 又∵， 所以， 易知当和时，的值相等， 所以当或10时，有最大值为， 即当的值为9或10时，使得最大. 一．选择题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】两点分布、利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率. 【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 3．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（ ） A．X的分布列为 B．X的期望 C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、超几何分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】列出的分布列，求出，可判断AB的真假；根据全概率公式计算可判断C的真假；根据条件概率计算判断D的真假. 【详解】对A，由题意随机变量服从超几何分布，即， 所以，故A错误； 对B，根据超几何分布的方差的计算公式：，故B正确； 对C，根据全概率公式，，故C错误； 对D，根据条件概率，可得，故D正确. 故选：BD 4．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．随机变量，则 B．随机变量，则当时概率最大 C．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件 D．袋中装有2个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中一次性摸出2个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】利用二项分布期望公式计算判断A；利用二项分布概率公式，结合二项式系数的性质判断B；利用互斥事件的定义判断C；利用超几何分布的定义判断D. 【详解】对于A，随机变量，则，A正确； 对于B，随机变量，则， ，由二项式系数的性质知，当时，最大，B正确； 对于C，“至少有一个红球”与“至少有一个白球”的事件可以同时发生， 即取出的两球为一红一白的事件，因此它们不互斥，C错误； 对于D，设摸出红球的个数为，则，符合超几何分布，D正确. 故选：ABD 5．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】利用超几何分布概率公式计算即可. 【详解】根据题意，得， 解得或． 故选：AD 6．（24-25高二下·全国·开学考试）下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】利用二项分布求分布列、均值的性质、方差的性质、超几何分布的分布列 【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的性质公式，以及二项分布与超几何分布的概念，可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C错误； 对于D，根据超几何分布的概念可知随机变量服从超几何分布，故D正确． 故选：ABD． 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）为了检测某车间生产产品的质量，质检部安排A、两名质检员对该车间产品进行抽样检查，A质检员从生产流水线上随机抽取3件产品，质检员从事先选定的10件产品中随机抽取3件产品.假设该车间生产产品的次品率为0.2，事先选定的10件产品中有2件次品，设A、两名质检员抽取的产品中次品的件数分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】超几何分布的均值、二项分布的均值 【分析】由二项分布及超几何分布知识可得答案. 【详解】对于AB，由题意知服从二项分布， 则，，故A、B正确； 对于CD，服从超几何分布，所以，故C错误， 根据超几何分布的期望公式，，D正确. 故选：ABD 8．（24-25高三上·广东·期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（   ） A．X的分布列为 B．X的方差 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、超几何分布的方差、利用全概率公式求概率 【分析】列出的分布列，求出，可判断AB的真假；根据全概率公式计算可判断C的真假；根据条件概率计算判断D的真假. 【详解】对A：由题意：随机变量服从超几何分布，即， 所以.故A错误； 对B：根据超几何分布的方差的计算公式：，可得.故B正确； 对C：根据全概率公式，，故C正确； 对D：根据条件概率，可得.故D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】设口袋中有白球个（），取得白球个数的可能取值为0，1，2，得到对应的概率，从而求出期望，得到方程，求出，得到答案. 【详解】设口袋中有白球个（），由已知可得， 取得白球个数的可能取值为0，1，2， ，，，， ，解得，则口袋中白球的个数为3． 故答案为：3 10．（2024高三·全国·专题练习）超几何分布 一般地，若有总数为件的甲、乙两类物品，其中甲类有件，从所有物品中随机取出件，则这件中所含甲类物品数是一个离散型随机变量，能取不小于且不大于的所有自然数，其中是与中的较小者，在不大于乙类物品件数（即）时取0，否则取减乙类物品件数之差（即，而且 ，，，，，这里的称为服从参数为，，的超几何分布，记作. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】略 【详解】略 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为 . 【答案】/0.6 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值 【分析】由题意得的取值为，根据超几何分布计算概率，得到期望值. 【详解】由题意得，的取值为， ，， ，， . 故答案为：. 12．（24-25高二下·全国·课后作业）某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人数为 ．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值） 【答案】42 【难度】0.4 【知识点】求超几何分布的概率、计数原理与概率综合 【分析】求使得最大时的，记，以判断 的单调性及最大值得解. 【详解】设班级学生的总人数为，且，则， 记，则， 易得， 由可得， 所以当时，，当时，， 所以的最大值在时取到， 所以估计班级学生的总人数为42人． 故答案为：42. 四、解答题 13．（2025·河南·二模）某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.    (1)求的值； (2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； (3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析,0.6 【难度】0.85 【知识点】补全频率分布直方图、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）根据频率之和等于1求解； （2）根据超几何分布求解概率； （3）利用二项分布求分布列和数学期望. 【详解】（1）根据频率之和等于1可得， ，解得. （2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. （3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望为. 14．（2025·北京·模拟预测）某次测验满分为100分，A组和B组各有10人参加，成绩如下表： A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99 B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99 对于该次测验，分数时为及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀. (1)从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率； (2)从A组中随机抽取1名学生，再从B组中随机抽取1名学生.用随机变量X表示这两人的成绩为优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从A、B两组中均随机抽取3人，A组成绩为76，83，92.已知B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92，直接写出B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率， 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 (3) 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）应用古典概型求解事件的概率即可； （2）A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人，再根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望； （3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a的取值范围即可求出概率. 【详解】（1）由题意知，A组中良好的学生有5人，再从B组中良好的学生有7人， 从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率为. 因此，学生成绩为良好的概率为. （2）根据题意得，A组中优秀的学生有5人，再从B组中优秀的学生有2人 X的可能取值为0，1，2. 则，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 因此，X的数学期望. （3）A组成绩为成绩分别为76，83，92，平均值为，方差为， B组抽出的3人中有2人的成绩为99，92， ，平均值为， 所以， 即， 代入检验，可知最小为84，最大， 故B组3人成绩方差比A组3人成绩方差小的概率为. 15．（2025高三·全国·专题练习）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望. 【答案】至少有1人初赛成绩优秀的概率为，分布列见详解，. 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】根据频率分布直方图求得初赛成绩不低于80分的学生人数，再根据超几何分布写出随机变量的分布列，进而求得概率和数学期望. 【详解】由频率分布直方图可知， 样本中位于区间内的人数：， 样本中位于区间内的人数：， 抽取的2人中成绩优秀的人数可能的取值有0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率， 数学期望. 16．（24-25高二下·天津·阶段练习）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出一个黑色球得分，现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； (2)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式求解即可； （2）由已知可得的可能取值，然后分别计算概率即可得分布列，根据数学期望的计算公式求解即可. 【详解】（1）从个球中任取个球，总的基本事件个数为， 若取出的3个球得分之和恰为1分，包含的情况有两种： 红白，包含的基本事件个数为， 红黑，包含的基本事件个数为， 所以取出的3个球得分之和恰为1分的概率为； （2）由已知可得的可能取值为，，，， ，， ，， 的分布列为 17．（23-24高二下·山东滨州·期中）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)估计这100名学生的平均体育活动时间； (2)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (3)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求当为何值时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)7 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、独立重复试验的概率问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图求平均值即可得解； （2）由题意求出位于和的两组学生人数，再由超几何分布求出分布列与期望； （3）根据独立重复试验列出概率不等式式组，求解即可得. 【详解】（1）这100名学生的平均活动时间 分钟. （2）因为体育活动时间位于和的频率分别为和， 所以抽取的12名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布， 故，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： . 设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则， ， 设， 则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时， 有，即， 化简得，解得， 因为且，所以. 18．（2024·福建泉州·模拟预测）某社团对男女学生是否喜欢书法进行了一个随机调查，调查的数据如下表所示． 喜欢书法 不喜欢书法 男学生 24 32 女学生 16 24 根据调查数据回答： (1)有的把握认为性别与是否喜欢书法有关吗？ (2)若该社团某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动，记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)答案见解析; (2)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】独立性检验解决实际问题、超几何分布的均值 【分析】（1）根据表中数据及公式，求出，观测值与临界值进行比较即可求解. （2）利用超几何分布求解分布列，再计算期望. 【详解】（1）如图，画出完整列联表 喜欢书法 不喜欢书法 总计 男学生 24 32 56 女学生 16 24 40 总计 40 56 96 假设零事件:认为性别与是否喜欢书法无关联， ， 根据的独立性检验，即没有的把握认为性别与是否喜欢书法有关联； （2）可能的取值：， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 19．（2024·吉林·二模）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：，） 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的均值、求离散型随机变量的均值、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人. 服从超几何分布，， ，， ，， ∴的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. （2）， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在处有极小值， 从而当时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是. 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 另：或 又，故，下同法一 20．（22-23高二下·河南郑州·期末）网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评、中评、差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，按年龄分为“40岁以下”和“40岁以上（含40岁）”两类人群进行了统计，得到给“好评、中评、差评”评价的人数如下表所示. 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 40岁以下 9000 3000 2000 40岁以上（含40岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到给“好评”评价的网民，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到给“好评”评价的网民，但抽取次数最多不超过5次，求抽取5次的概率； (2)从给“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记抽取的3人中年龄在40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列见解析；的数学期望为 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、独立事件的乘法公式、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）依据表格数据求出从参与评价的网民中每次随机抽取1人抽到给“好评”评价的网民的概率，即可依据题意求解抽取5次的概率. （2）先确认抽取的10人中40岁以下的人数和40岁以上（含40岁）的人数，进而得的取值，再求出的每一个取值对应的概率即可求的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题可知从参与评价的网民中每次随机抽取1人，抽取到给“好评”评价的网民概率为， 记事件“抽取5次”，所以抽取5次的概率为. （2）由表格数据得“中评”年龄40岁以下和以上人数比为， 所以用分层随机抽样的方法抽取10人，则从年龄40岁以下抽人，年龄40岁以上（含40岁）抽人， 所以由题意，且服从超几何分布， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 21．（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2)或 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、服从二项分布的随机变量概率最大问题、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求得，进而求出礼品果的个数，求出的可能取值及对应的概率，得到的分布列，代入期望公式求解期望； （2）根据且，求出n的取值范围，代入判断求解即可. 【详解】（1）由题意，所以， 所以这100个水果中礼品果的个数为， 采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，其中礼品果有个， 故随机变量的所有可能取值为， 则，，. 所以的分布列为 0 1 2 期望. （2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为， 则， 所以， 要使最大，则且， 解得，因为， 所以，所以当最大时，或. 22．（2024·山西·三模）袋中装有大小、形状、材质完全相同的n个小球，其中有个红球. (1)若，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量，求的方差 (2)从袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量，若的期望，方差，求; (3)若，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若，求红球占比估计值的误差不超过的概率. 参考数据: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0282 0.0121 0.0052 0.0022 0.0010 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 【答案】(1) (2)15 (3)0.708 【难度】0.65 【知识点】二项分布的方差、超几何分布的方差、二项分布的均值、超几何分布的均值 【分析】（1）根据题意服从超几何分布，先计算概率，再计算期望代入方差公式即可. （2）有放回的摸球，所以服从二项分布，利用期望，方差公式联立求出. （3）有放回的摸球，每次摸一个球，摸10次，红球出现的次数是服从二项分布的，想利用摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，当红球有30个时，红球实际的比例为如果红球占比估计值的误差不超过，，则只能取2、3或4.，又因为红球出现的次数是服从二项分布的，所以概率利用二项分布的计算可得. 【详解】（1）X的取值有0，1，2.且服从超几何分布.因此,,; 分布列如下： X 0 1 2 P . . （2）因为有放回地摸取1个小球次，每次摸到红球的概率是，所以 ，，，即， 所以. （3）设从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球中红球出现次， 所以摸出红球的频率为，当，红球所占比例为，如果以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，且误差不超过，因此：，即只能取2、3或4.所以红球占比估计值的误差不超过的概率：. 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$