第七章 随机变量及其分布小结与复习（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

第七章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　概率(随机)思想、从特殊到一般思想的应用  [2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如图的样本数据的频率分布直方图. 例1 (1) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄(单位:岁)位于区间[20,70)的概率. (2) 已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄(单位:岁)位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄(单位:岁)位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1) (1) 设A=“一位这种疾病患者的年龄在区间[20,70)”,根据对立事件的概率公式P(A)=1-P()即可解出.　(2) 根据条件概率以及概率的乘法公式即可求出. (1) 设A=“一位这种疾病患者的年龄在区间[20,70)”,所以P(A)=1-P()=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.　(2) 设B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,C=“从该地区中任选一人患这种疾病”,则由已知得P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B|C)=0.023×10=0.23,则由条件概率公式,可得从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),此人患这种疾病的概率P(C|B)====0.001 437 5≈0.001 4. 变式训练1 [教材改编题]在一次考试中,第22题和第23题为选做题,规定每位考生必须且只需在其中选做一题.现有甲、乙、丙、丁4名考生参加考试,其中甲、乙选做第22题的概率均为,丙、丁选做第22题的概率均为.求在甲选做第22题的条件下,恰有2名考生选做同一道题的概率. 方法一:记“甲选做第22题”为事件A;“恰有2名考生选做同一道题”为事件B.由题意可计算,P(A)=,P(AB)=+××××2=,所以P(B|A)===.方法二:在甲选做第22题的条件下,恰有2名考生选做同一道题,问题等价于“乙、丙、丁3人中有且只有1人选做第22题,其余2人选做第23题”,记为事件C.由题意可计算,P(C)=××+×××2=. 点评总结　本例考查用简单事件表示复杂事件,利用加法公式、乘法公式及全概率公式解决实际问题. 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险/次 0 1 2 3 4 ≥5 保费/元 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险/次 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%及以上的概率; (3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. (1) 根据保费和出险次数的对应关系可求;　(2) 利用条件概率公式求解;　(3) 利用随机变量均值定义求解. (1) 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,P(A)=1-P()=1-(0.30+0.15)=0.55.　(2) 设续保人保费比基本保费高出60%及以上为事件B,因为B⊆A,故P(AB)=P(B),P(B|A)===. (3) 设本年度所交保费为随机变量X. X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费E(X)=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=0.255a+0.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.1a=1.23a,所以平均保费与基本保费比值为1.23. 变式训练2 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量X/mm X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300 mm,700 mm,900 mm的概率分别为0.3,0.7,0.9. (1) 求工期延误天数Y的均值; (2) 在降水量X至少是300 mm的条件下,求工期延误不超过6天的概率. (1) 由已知条件,可知P(X<300)=0.3,P