第五章 5.3.2函数的极值与最大(小)值（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时10　函数的极值与最大(小)值(1)  1. 结合函数的图象,了解函数的极值以及极值点的概念,理解函数的极值与导数的关系. 2. 了解可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件,体会极值是函数的局部性质. 3. 掌握运用函数的极值与导数之间的关系求解与函数的极值、极值点有关的问题的方法和步骤. 课程目标 学科核心素养 结合函数图象,了解函数的极值与极值点的概念,理解函数的极值与导数之间的关系 通过对函数的极值、极值点的概念和函数的极值与导数的关系的学习,培养直观想象、数学抽象等素养 理解函数极值存在的条件,能运用函数的极值与导数的关系求函数的极值和极值点 在运用导数求函数的极值的过程中,培养数学抽象、数学运算等素养 能正确运用函数的极值与导数之间的关系解决与函数的极值、极值点有关的综合问题 在解决与函数极值有关的综合问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算等素养 在2021年东京奥运会女子10米跳台决赛中,我国小将全红婵以三跳满分总分466.5的成绩夺冠.已知高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10,观察函数图象(图1),回答下列问题: (1) 当t=a时,高台跳水运动员距水面高度最大,那么函数h(t)在t=a处的导数是多少呢? (2) 当t<a时,h(t)的单调性是什么样的?h'(t)的符号是什么? (3) 当t>a时,h(t)的单调性是什么样的?h'(t)的符号是什么? (4) 探究在t=a附近的导数h'(t)符号变化规律与h(t)图象变化特点. 图1 【提示】 函数h(t)在t=a处h'(a)=0;当t<a时,函数h(t)单调递增,h'(t)>0;当t>a时,函数h(t)单调递减,h'(t)<0;当t在a附近从小到大经过a时,h'(t)先正后负,h(t)先增后减. 设计意图　运用熟悉的实际问题创设情境,引导学生观察函数图象的变化与导数之间的关系,初步感受函数的极值与极值点的概念与意义,激发学习兴趣和求知欲,为展开新课的探究学习活动奠定基础、作好铺垫. 任务1　函数极值的定义  活动1　函数极小值点与极小值的定义  问题1　对于一般的函数y=f(x),是否也具有“函数单调递增则导数大于零,函数单调递减则导数小于零”呢? 【提示】 也有这样的性质. 问题2　如图2,函数y=f(x)在a处的函数值与这个点附近的函数值有什么关系? 图2 【提示】 由函数图象可知,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小. 问题3　函数y=f(x)在点x=a处的导数值是多少? 【提示】 f'(a)=0. 问题4　在点x=a附近y=f(x)的导数的符号有什么规律? 【提示】 在点x=a附近左侧,f'(x)<0;在点x=a附近右侧,f'(x)>0,我们把图中的点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生借助函数图象的直观,抽象、归纳出极小值点、极小值的定义,形成对函数的极小值点、极小值的定义的正确认识和理解,发展直观想象和数学抽象等素养. 注意事项: 在本活动中,一是引导学生观察x=a附近函数单调性的变化,进而得出导数符号变化情况;二是让学生自主探究,归纳总结出极小值点和极小值的定义. 活动2　函数极大值点与极大值的定义  问题5　在图2中,函数y=f(x)在点x=b处的函数值与这个点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在点x=b处的导数值是多少?在点x=b附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律? 【提示】 由函数图象可知,函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b)比它在这个点附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近左侧,f'(x)>0;在点x=b附近右侧,f'(x)<0.点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 问题6　你能给出一般性的结论吗? 【提示】 设函数y=f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0);极小值点、极大值点统称为极值点,极小值、极大值统称为极值. 问题7　如图3,x=c,d,e是否为函数y=f(x)的极值点?如果是,请分析原因;如果不是,请说明理由. 图3 【提示】 由函数图象可知,函数y=f(x)在点x=c,e的函数值f(c),f(e)比它在附近其他点的函数值都小,f'(c)=f'(e)=0;而且在这两个点附近左侧f'(x)<0,在这两个点附近左侧f'(x)>0,由极值的定