5.3.2函数的极值与最大（小）值（2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第五章 一元函数的导数及其应用 人教A版2019选择性必修第二册 学习目标 1 2 3 结合图象理解函数极值的概念及极值与导数的关系． 能运用函数的导数求函数的最大值、最小值． 体会导数与函数单调性、极值和最值的关系． 0 章节导读 0 5.1.1变化率 5.1.2 导数的概念及几何意义 5.2导数的运算 5.3导数在研究函数中的应用 平均速度 瞬时速度 割线斜率 切线斜率 导数的几何意义 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 前情回顾 0 函数单调性与导数 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系: 在某个区间上, 如果, 那么函数在区间上单调递增; 在某个区间上, 如果, 那么函数在区间上单调递减. 如果在区间上恒有那么函数在区间上是常数函数. 函数的点处切线斜率为大，图象越陡。 读教材 0 阅读课本P90-P94，5分钟后完成下列问题： 1.函数的极值与导函数之间有何关系？ 我们一起来探究函数极值、最值与导数之间的关系吧！ 2.函数的最值与极值之间有何关系？如何求函数的最值？ 3.归纳求函数的极值、最值的步骤？ 01 03 02 目录 1 导数与函数的极值 2 导数与函数的最值 学习过程 3 题型训练 新课引入 0 我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点。 这就是我们今天要研究的函数的极值！ 新知探究 1 探究1：观察图象，说说函数 在处时的导数是多少？ 此点附近的函数图象有什么特点？导数的正负有什么变化规律？ 先增后减 O a b x y c e d 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 先减后增 1 极值与导数的关系 新知1－－导数与函数的极值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧. 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧. 我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 1 ； 在 两侧单调性相反. O a b x y c e d 的值要比附近的值都大； 的值要比附近的值都小； 但不一定是最大值与最小值。 新知1－－导数与函数的极值 你能归纳出函数的极值满足的条件吗？ 1 对函数极值的理解 新知1－－导数与函数的极值 (1)若f ′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f ′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f ′(x)的变号零点，才是函数的极值点． (2)一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，极值点不是点，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．（如图） (3)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (4)单调函数一定没有极值． 极小值 极大值 学以致用 例1 函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b) 内的极小值点的个数为（ ） C 解：由图象知在(－∞，c)，(d，b)上f ′(x)≥0，所以此时函数f (x)在(－∞，c)， (d，b)上单调递增，在(c，d)上，f ′(x)<0，此时f (x)在(c，d)上单调递减， 所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值. 则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1；故选C. A.1 B.2 C.3 D.4 学以致用 例2 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A.函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (1) C.函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (－2) D.函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (2) D 解：由题图可知，当x<－2时，f ′(x)>0；当－2<x<1时，f ′(x)<0； 当1<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值；故选D. 学以致用 例3 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值， 则函数y＝xf ′(x)的图象可能是（ ） C 解：f (x)在x＝－2处取得极小值，故当x＜－2时，f (x)单调递减，即f ′(x)＜0； 当x＞－2时，f (x)单调递增，即f ′(x)＞0.所以当x＜－2时，y＝xf ′(x)＞0； 当x＝－2时，y＝xf ′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0； 当x＝0时，y＝xf ′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf ′(x)＞0.结合选项中的图象知选C. 学以致用 例4 设函数f (x)＝xex，则（ ） A.x＝1为f (x)的极大值点 B.x＝1为f (x)的极小值点 C.x＝－1为f (x)的极大值点 D.x＝－1为f (x)的极小值点 解：令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1. 当x＜－1时，f ′(x)＜0； 当x＞－1时，f ′(x)＞0. 故x＝－1为f (x)的极小值点. D 令导函数＝0； 判定导数的符号； 确定函数的极值. 学以致用 例5 函数f (x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的值可以是（ ） A.－4 B.－3 C.6 D.8 解：由题意知f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根， 所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3. AD 学以致用 例6 求函数f (x)＝x3－3x2－9x＋5的极值？ 解：函数f(x)的定义域为R.f ′(x)＝3x2－6x－9，令f ′(x)＝0，3x2－6x－9＝0， 解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f (x)，f ′(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10； 当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22. 思路点拨 求函数极值的步骤： 求出函数的定义域； 1 求出导数； 2 零点分区间判定的符号； 3 列表求函数的单调性与极值. 4 解方程，当时： (1)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2)如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值. 01 03 02 目录 学习过程 1 导数与函数的极值 2 导数与函数的最值 3 题型训练 复习引入 0 (1)对于任意的，都有; (2)存在 ，使得 那么，称 是函数的最大值. O x y a b O x y a b 你还记得函数最值的定义吗？ 一般地，设函数的定义域为 ，如果存在实数满足： 函数最值与极值有何关系？ (1)对于任意的 ，都有 ; (2)存在 ，使得 那么，称是函数的最小值 . 新知探究 2 探究2 ，，是函数的极大值，，，是 函数的极小值. 问题1 找出函数在区间上的最小值、最大值吗？与极值有何关系？ 由图：函数在区间上的最小值， 最大.显然函数的最值是函数的整体性质； 且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在；而且最值一定是在极值点或区间端点处取到. 新知探究 2 问题2 开区间上的连续函数有最值吗？ 开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值则一定在极值点处取到. 因此，只要把函数的所有极值点连同端点的函数值进行比较， 就可以求出函数的最大值与最小值. 2 导数与函数的最值 新知2－－导数与函数的最值 函数在闭区间上取得最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值. 注：(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念. (2)闭区间上的连续函数一定有最值，最值一定在极值点和端点处取得； (3)开区间内的连续函数不一定有最值，若有最值，一定在极值点处取得； (4)若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值. 学以致用 例1 如图是函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、 最大值和最小值: 解:由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值， 所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)； 比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b). 学以致用 例2 设f (x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导， 则下列结论中正确的是( ) A.f (x)的极值点一定是最值点 B.f (x)的最值点一定是极值点 C.f (x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D.f (x)在区间[a，b]上可能没有最值点 C 解：根据函数的极值与最值的概念知，f (x)的极值点不一定是最值点，f (x)的 最值点不一定是极值点,可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值， 所以选项A，B，D都不正确， 若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，C正确. 学以致用 例3 求函数f (x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]的最值? 解：f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f (0)＝3，f (2)＝－5， f (4)＝35，f (－2)＝－37， ∴当x＝4时，f(x)取最大值35. 当x＝－2时，f(x)取最小值－37. 即f(x)的最大值为35，最小值为－37. 求函数在区间内的极值； 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 思路点拨 求函数最值的步骤： 求出函数的定义域； 1 求出函数； 2 求出函数； 3 比较大小选出最值. 4 注：(1)函数的极值可以有多个，但最值只能有一个. (2)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值. 01 03 02 目录 学习过程 1 导数与函数的极值 2 导数与函数的最值 3 题型训练 题型1－－求函数的极值 3 例1 已知函数f (x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值， 求该函数的单调递增区间？ 解：∵f ′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f ′(2)＝0， 即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15， ∴f ′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)， 由f ′(x)＞0得x＜2或x＞3. 思路点拨 求函数极值的步骤： 求出函数的定义域； 1 求出导数； 2 零点分区间判定的符号； 3 列表求函数的单调性与极值. 4 解方程，当时： (1)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2)如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值. 题型1－－求函数的极值 3 例2 求函数f (x)＝x－aln x(a∈R)的极值？ 解：定义域为(0，＋∞)， ①当a≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x)无极值； ②当a>0时，由f ′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f ′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f ′(x)>0， 从而函数f (x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f (a)＝a－aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f (x)无极值； 当a>0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. 题型1－－求函数的极值 3 例3 求函数f (x)＝x2e－x 的极值？ 解：定义域为R，f ′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f ′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x) 单调递减 0 单调递增 4e－2 单调递减 当x＝0时，f(x)取得极小值为f (0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值为f (2)＝4e－2。 题型1－－求函数的极值 3 例4 求函数函数f (x)＝x3－x2－x＋a的极值？ 所以f (x)的极小值是f (1)＝a－1；f (x)的极大值为f ()＝a 。 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： 解：f ′(x)＝3x2－2x－1. 题型1－－求函数的极值 3 例5 曲线f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且 x＝ 是y＝f (x)的极值点，则a＝_____，b＝_______. 2 －4 解：f ′(x)＝3x2＋2ax＋b， 3 例6 若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n， 则m＋n＝______. 解：f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去). f(1)＝－2.又因为f (0)＝0，f (3)＝18， 所以m＝18，n＝－2，m＋n＝16. 题型2－－求函数的最值 16 3 例7 已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2， 都有|f(x1)－f(x2)|≤t，求实数t的最小值？ 解：因为f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]， 所以f (x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增. f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19， 又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20， 所以t≥20，实数t的最小值为20。 题型2－－求函数的最值 3 例8 函数f (x)＝ex－x2－ax，当x>0时，f (x)≥1－x恒成立，求实数a的取值范围？ 题型2－－求函数的最值 设F(x)＝ex－x－1，F ′(x)＝ex－1，x∈(0，＋∞)，F ′(x)＝ex－1>0， 所以F(x)min>0，所以当x∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增， 故g(x)min＝g(1)＝e－1，所以]. 课堂小结 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧. 就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函 数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值与导数的关系 课堂小结 最值与导数的关系 函数在闭区间上取得最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值. 注：(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念. (2)闭区间上的连续函数一定有最值，最值一定在极值点和端点处取得； (3)开区间内的连续函数不一定有最值，若有最值，一定在极值点处取得； (4)若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值. 由f ′(x)＝1－＝，x>0，则 令f ′(x)＝0，得x＝－或x＝1. x － 1 (1，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  由题意知即 解得经验证知符合题意. 令g(x)＝－x－＋1(x>0)，a≤g(x)min成立，g ′(x)＝. 解：当x>0时，f(x)≥1－x，即a≤－x－＋1， $$