5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　函数的最大(小)值 　 第五章　5.3.2　函数的极值与最大(小)值 知识层面 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、 最小值．　 2.体会导数与最大(小)值的关系．　 3.能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题. 素养层面 通过利用导数研究函数的最大(小)值，培养逻辑推理、数学运算的素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 问题1.观察[a，b]上函数y＝f(x)的图 象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 提示：极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)． 问题2.结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)． 问题3.函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 提示：不一定，也可能是区间端点的函数值． 问题导思 1. 函数的最大(小)值的定义 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条___________的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的________； (2)将函数y＝f(x)的__________与_______的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是__________，最小的一个是__________． 新知构建 连续不断 极值 各极值 端点 最大值 最小值 对函数最值的两点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2) 函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件． 微提醒 角度1　最值与极值的区别与联系 如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值． 例1 解：由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值， 所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)； 比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)． 规律方法 最值与极值的区别与联系 1．极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． 2．在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． 3．函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． 4．对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 对点练1.设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是 A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A、B、D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．故选C． √ 角度2　求不含参数的函数的最值 (链教材P93例6)求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]； 例2 解：f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)， 令f′(x)＝0得x＝－1，或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如表所示． x －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2 f′(x)   ＋ 0 － 0 ＋   f(x) －1 单调递增 11 单调递减 －1 单调递增 11 从表中可以看出，当x＝－2，或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1. 当x＝－1，或x＝2时，函数f(x)取得最大值11. 规律方法 求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法 法一：(1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)列出关于x，f′(x)，f(x)的变化表． (4)求极值、端点值，确定最值． 法二：(1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点值，确定最值． 注意　不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较． 对点练2.求下列函数的最大值与最小值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； 解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2. 又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37， 所以当x＝4时，f(x)取最大值35， 当x＝－2时，f(x)取最小值－37， 即f(x)的最大值为35，最小值为－37. 当f′(x)＝0时，x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 单调递减 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 返回 综合应用 返回 例3 ①当a>0时，令f′(x)>0，解得0<x<a， 令f′(x)<0，解得x>a， 故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． 应用一　求含参数的函数的最值 ②当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 综上，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减； 当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 例3 ①当a>0时，令f′(x)>0，解得0<x<a， 令f′(x)<0，解得x>a， 故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． ②当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 综上，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减； 当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 规律方法 含参数的函数最值问题的两类情况 1．能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题． 2．对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．　　 对点练3.已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值． 应用二　利用最值证明不等式 例4 当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0， 规律方法 证明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的方法与步骤 第一步：将要证明的不等式f(x)＞g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)＞0； 第二步：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性； 第三步：若[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数，只需保证F(a)＞0；若[f(x)－g(x)]′＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数，只需保证F(b)＞0. 对点练4.证明：x＞0时，ln x≤x－1. 当x＞1时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当0＜x＜1时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． 可得x＝1时，f(x)取得极大值，且为最大值． 即f(x)max＝f(1)＝0. 所以f(x)≤0，即ln x≤x－1. 返回 课堂小结 知识 1.函数最大(小)值.2.求函数最值.3.利用最值证明不等式 方法 转化化归思想、分类讨论思想 易错误区 忽视函数的最值与极值的区别与联系 随堂演练 返回 1．下列结论正确的是 A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．故选D． √ √ 3．(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，以下命题正确的是 A．x＝－3是函数y＝f(x)的极小值点 B．x＝－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零 √ √ √ 根据导函数图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，故C正确；易知x＝－3是函数y＝f(x)的极小值点，故A正确；因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，所以x＝－1不是函数y＝f(x)的最小值点，故B不正确；因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，所以切线的斜率大于零，故D正确．故选ACD． 解：f(x)的定义域为R，f′(x)＝2x2－2x－4＝2(x－2)(x＋1)． 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝2. 当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减． 返回 x －3 (－3，－1) －1 (－1，2) 2 (2，3) 3 f′(x)   ＋ 0 － 0 ＋   f(x) －10 单调递增 单调递减 单调递增 2 课时测评 返回 1．(2024·宁夏六盘山高二期中)下列命题中，真命题是 A．函数的最大值一定不是该函数的极大值 B．函数的极大值可以小于该函数的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D．函数在开区间内不存在最大值和最小值 函数的最大值有可能是函数的极大值，故A错误；函数的极大值可以小于该函数的极小值，故B正确；函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值，故C错误；函数在开区间内有可能存在最大值和最小值，故D错误．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1) A．有最大(小)值，但无极值 B．有最大(小)值，也有极值 C．既无最大(小)值，也无极值 D．无最大(小)值，但有极值 √ f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上单调递减，因此函数f(x)无最大值和最小值，也无极值．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 A．0 B．－5 C．－10 D．－37 因为f(x)＝2x3－6x2＋m，所以f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以当x＝0时，f(x)＝m为最大值，所以m＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3，所以f(－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f(2)＝－5，所以最小值是－37.故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)(2024·山东菏泽高二期中)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在 上的最值情况为 A．最大值为12 B．最大值为5 C．最小值为－8 D．最小值为－15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．若函数f(x)＝x3－3x在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＋n＝_______． 16 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－1(舍去)．又f(0)＝0，f(3)＝18，f(1)＝－2，所以m＝18，n＝－2，m＋n＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为______． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： 解：f′(x)＝cos x－sin x. 令f′(x)＝0，即tan x＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当1<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 A．20 B．18 C．3 D．0 √ 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3，2]，所以f(x)在(－1，1)上单调递减，在(1，2)和(－3，－1)上单调递增．f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)(2024·广东深圳高二期末)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是 A．x＝c时，f(x)取得极大值 B．x＝d时，f(x)取得最小值 C．f(a)<f(b)<f(c) D．f(e)<f(d)<f(c) √ √ √ 结合导函数的图象可知，f(x)在(a，c)上单调递增，则f(a)< f(b)< f(c)，故C正确；在(c，e)上单调递减，则f(e)< f(d)< f(c)，故D正确；由于f(e)< f(d)，显然 f(d)不是最小值，故B错误；又 f(x)在(a，c)上单调递增，(c，e)上单调递减，则x＝c时，f(x)取得极大值，故A正确．故选ACD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知函数f(x)＝ln x＋2，设函数h(x)＝f(x＋1)－x－2，则h(x)的最大值是_______． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)． (1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(4分) 因为x∈[1，e]，所以g′(x)≥0， 所以g(x)在[1，e]上单调递增， 所以g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1. 解：因为a＝1，所以g(x)＝ln x＋x2－3x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(多选)已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间(k，2)T456T上的最大值为28，则实数k的值可以是 A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1. (1)讨论f(x)的单调性；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在a，使得f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由．(10分) 解：存在，理由如下： 由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，则最小值为f(0)＝1，不符合题意； f(x)的最大值为f(0)＝1，最小值为f(1)＝2－a＋1＝－1，解得a＝4，符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 一 元 函 数 的 导 数 及 其 应 用 返回 又f ＝－，f ＝， f ＝－，f ＝－＋. f′(x)＝＝， 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调区间； g(a)＝f(x)max＝f ＝2－ae； 当x＞0时，证明：不等式ln (x＋1)＞x－x2. 所以当x＞0时，不等式ln(x＋1)＞x－x2成立． y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上单调递增，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.故选C． － 因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x∈时， y′＝(1＋x)ex>0，所以函数y＝xex在区间上单调递增，所以当x＝2时，函数y＝xex取得最小值，ymin＝2e2，所以函数y＝xex在x∈上的最小值为2e2.故选A． f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，所以当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1. f′(x)＝＝＝，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.因为当x∈(－2，－1)，(1，2)时，f′(x)<0，当x∈(－1，1)时， f′(x)>0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，当x＝1时，f(x)取得极大值，因为f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－2. 又因为f ＝，f ＝－1，f ＝1， 所以当x∈时，函数的最大值为f ＝，最小值为f ＝－1. 当a>0时，函数f(x)在(－∞，0)和上单调递增，在上单调 递减； 当a<0时，函数f(x)在和(0，＋∞)上单调递增，在上单调 递减． f(x)的最小值为f ＝2×－a×＋1＝－1，化为－＝－2，解得a＝3>3，不符合题意．综上可得，a的值为4. $$