专题13-2 将军饮马模型-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十三章 专题2 将军饮马模型 1 将军饮马 如下图，点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 作法 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点. 简证 ，， 因为，所以， 所以点为所求点. 2 变形模型 （1）如下图，点，在直线的异侧，在直线上取一点，使得最小. 直接连接，交直线于点，此时最小. （2）如下图，点是内的一点，分别在，上做点，，使得的周长最小. 作点关于，的对称点,,连接，交，于点，，此时的周长最小. （3）如下图，点，是内的两点，分别在，上做点，，使得四边形的周长最小. 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交，于点，，此时四边形的周长最小. 【题型1】 将军饮马模型 【典题1】 如图，A，B两个村庄独自从河流l上安装了两条灌溉管道AD，BE，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．某水务局准备为两村庄在河流l上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田．通过测量，确定在河流l的点P处安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道AP+BP的长度最短，此时测得∠PBE＝30°，DE＝150米，则AP+BP的最小值为(　　) A．180米 B．210米 C．240米 D．300米 【典题2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为(　　) A． B．5 C．3 D． 【典题3】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为(　　) A．10 B．8 C．7 D．9 【巩固练习】 1.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是(　　) A．13 B．14 C．15 D．13.5 2.如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是(　　) A．11 B．13 C．18 D．24 3.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为(　　) A．15° B．22.5° C．30° D．45° 4.如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是24，E为腰AB的垂直平分线MN上一动点．点D为BC的中点，则△BDE的周长的最小值为 . 5.如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的，P为线段A'C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是 . 6.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE． (1)说明：AE＝CE＝BE； (2)若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值． 【题型2】 将军饮马的变形模型 【典题1】 如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是(　　) A．120° B．60° C．30° D．90° 【典题2】如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为(　　) A．72° B．36° C．108° D．38° 【巩固练习】 1.已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是(　　) A．40° B．100° C．140° D．50° 2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB=5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是(　　) A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 3.如图，△ABD是边长为6的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC＝∠ABC＝90°，则△CEF周长的最小值为 　 　． 4.已知点P在∠MON内． (1)如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　 　； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10； (2)如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【A组---