3.空间向量-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮复习立体几何讲义

眉山一中2023届高三第一轮复习：立体几何 　空间向量 一 空间向量常用知识点 　 （1）向量的数乘：已知：则。 （2）向量的坐标与向量的起点和终点坐标的关系：已知：则　　　　　 　　　　，的中点坐标为。 （3）向量的模：已知：则； 一般地：若则　　 （空间中两点间的距离公式） （4）向量相等：已知：，则 意识：标某点坐标较困难时，充分利用向量相等标坐标。 （5）在上的投影的计算公式：在上的投影＝。 　 （6） 数量积：①已知：，则； 　　　　　　　　②若、都不为零向量，，是与的夹角， 　则　。 　　　　　③若、都不为零向量，则特别地： 　 （7）向量共线：已知：， 　　　　　　　　　　则两向量对应坐标成比例。 特别地：线段上一点的设法：若，令 　　 　则； 　　 若点在直线上， （8）直线的方向向量：是指和这条直线平行或在直线上的非零向量 （9）平面的法向量： ①定义：直线，取直线的一个方向向量，则叫做平面的法向量。 　　　　　　　注意：一个平面的法向量不是唯一的。 　　　②平面法向量的求解步骤： 　　　　第一步：设平面的法向量为； 　　　　第二步：找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标　　　　　　　　　　　； 　　　　第三步：根据法向量的定义建立关于的方程组； 　　　　第四步：“解”出法向量的坐标 　　　　　　　　（注意特点）去掉公因数即得平面的法向量。 二 空间向量常见题型 （1）证明题 　　　①　线线垂直 　　　　　　　直线的方向向量为直线的方向向量为， 　　　　　则； 　　　②　线面垂直 　　　　　　　直线的方向向量为平面的法向量为， 　　　　　　则； 　　　③　面面垂直 　　　　　　　平面的法向量为平面的法向量为， 　　　　　则； 　　　④　线面平行 　　　　　　　直线的方向向量为平面的法向量为， 　　　　　　则； 　　　 　　　⑤　面面平行 　　　　　　　平面的法向量为平面的法向量为， 　　　　　则； 　　 　⑥　线线平行 　　　　　　　直线的方向向量为直线的方向向量为， 　　　　　则； （2） 三类求角问题 　　　　　①　两异面直线所成角的求法 　　　　　　　直线的方向向量为直线的方向向量为， 　　　　　两异面直线和所成角为，则; 　　　　　② 直线与平面所成角的求法 　　　　　　　直线的方向向量为平面的法向量为， 　　　　　直线与平面所成的角为，则； 　　　　　③　二面角的求法 　　　　　　　平面的法向量为平面的法向量为， 　　　　　二面角的大小为，则 　　　　　（注意：先判定二面角是钝角还是锐角，再判定正负的去舍） （3） 点到面的距离问题 　　　　　　　　　点在平面外，点在平面内，向量平面的法向量为 　　　　　　，点到平面的距离为，则 三 向量法求解立体几何问题的思维顺序： 第一步：找或作三条两两垂直的线建立空间直角坐标系； 第二步：准确地标出各点的坐标； 第三步：把点的坐标转化为向量的坐标； 第四步：用各类题型的模板套。 四 例题分析 类型一：小题中的向量问题 1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A.120° B.60° C.30° D.60°或30° 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________. 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 5.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(　　) A. B. C. D. 6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内 7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________. 8. 已知ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2，ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF