1.5 定积分的概念-1.6 微积分基本定理讲义-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修2-2

1.5 定积分的概念 一、曲边梯形的定义 如图,我们把由直线 和曲线所围成的图形称为曲边梯形。 二、求曲边梯形的面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a,b]分成许多小区间, 进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形; ②近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值; ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 三、求变速直线运动的路程 如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s. 四、定积分的定义和相关概念 (1)如果函数在区间上连续,用分点a=x0<x1<<xi−1<xi<<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi−1,xi]上任取一点ξi (i=1,2, …,n),作和式 ;当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即=. (2)在中, 是积分号,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做 积分区间,函数叫做被积函数, 叫做积分变量,叫做被积式. 五、定积分的常用性质:设可积,则: (1) (其中k是不为0的常数) (2) (3)(其中) (4)若在区间上,则 (5) (6)设函数在区间上的最小值与最大值分别为与, 则 (7) 六、定积分的几何意义 Ⅰ、从几何上看,如果在区间上函数连续且恒有,则定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积。(图①中阴影部分) Ⅱ、从几何上看,如果在区间上函数连续且恒有,则定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数。 Ⅲ、从几何上看,如果在区间上函数连续,且函数的图像有一部分在轴上方,有一部分在轴下方,则定积分表示介于x轴、曲线f (x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. 七、定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论) 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来确定: 设阴影部分面积为S,则(1); (2); (3); (4). 1.6 微