2.点、线、面位置关系-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮复习立体几何讲义

眉山一中2023届高三第一轮复习：立体几何 点、线、面的位置关系 一　四个公理 　公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号表示为： 作用：判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内。 　公理2：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 　　　　推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 　　　　推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 　　　　推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 　公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。 　　　作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线。 　公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行, 符号表示为： 作用：判断空间两条直线平行的依据。 例1．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M， 则(　　) A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在AC上，也可能在BD上 D．M既不在AC上，也不在BD上 例2.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为________. 二　线线位置关系 　1.两直线的位置关系； 　2.等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 　　推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等 　3.异面直线所成角 （1）定义：已知异面直线，经过空间中任一点作直线我们把与所成的锐角 　　　　　（或直角）叫做异面直线与所成的角。 （2）小定理： ①； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）两直线垂直的定义：两直线成角为，就称为两直线垂直。 （4）异面直线的判定定理：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． （5）异面直线所成角的求法： 　　　　思维顺序：①平移：利用中位线平移；利用已有的平行关系平移（注意补形）；沿公交线平移。 　　　　　　　　　②说明：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 　　　　　　　　　③计算：求该角的值，常利用解三角形； 　　　　　　　　　④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。 例1.异面直线所成角的求法 类型一：利用已有的平行关系平移 1.四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2.在正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，A′A＝2，则AC′与BC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 类型二：通过补形构造平行关系 1.(17年全国卷Ⅱ）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2.(16年全国卷I）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m， 平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 3.在三棱锥中，，， 　则与所成角的余弦值为　　　　　。 类型三：利用中位线平移 1．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________． 2. 在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________. 3.在四面体中，若， ， ，则直线与所成角的余弦值为（　） A. B. C. D. 类型四：建系 1．（2021·全国·高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（       ） A． B． C． D． 2．(17年全国卷Ⅲ）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论