4.经典公式-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮复习讲义

眉山一中2023届高三第一轮：数列 公式的应用 若记数列{an}的前n项之和为Sn，则。 一 已知，通过作差求 注意：分和书写 例1.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________. 例2.若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 例3.已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_________. 二已知与的等式，通过作差得关于的递推关系 注意：1.一定得验证是否满足的递推关系 2.只要是与的等式关系应想到应用经典公式；用经典公式求解问题时，若是求关于的问题，则选择作差； 例1.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 例2.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则{an}的通项公式为 an＝________. 例3.(14年全国卷I）(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数. (Ⅰ)证明：； （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由. 例4.已知正项数列的前项和为，，且满足 。 （1）求数列通项公式； （2）求证：当时，。 例5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列的前n项和最大？ 例6. (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ. 例7.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 三已知与的等式，通过代入（即用替换）得关于的递推关系 注意：1.一定得验证是否满足的递推关系 2.只要是与的等式关系应想到应用经典公式；用经典公式求解问题时，若是求关于的问题，则选择代入。 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　) A.31 B.42 C.37 D.47 例2.(15年全国卷Ⅱ）设是数列的前n项和，且，，则________． 例3.已知数列的前项和为，且满足 （I）判断是否为等差数列？并证明你的结论；　　（II） 求和； （III）求证：。 例4.已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4. (1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn. 例5.设数列的前项和为．已知，，． （Ⅰ）设，求数列的通项公式； （Ⅱ）若，，求的取值范围． 四.广义上作差的意识 例1．等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于（ ） A.(4n－1) B.(2n－1) C．4n－1 D．(2n－1)2 例2.设数列满足 （I）求数列的通项；（II）设求数列的前项和. 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)，求数列{bn}的前n项和Tn. 公式的应用 若记数列{an}的前n项之和为Sn，则。 一 已知，通过作差求 注意：分和书写 例1.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案：4n－5 解析：a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合上式，∴an＝4n－5. 例2.若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式. 故数列的通项公式为an＝ 例3.(2019·广州质检)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_________. 答案：