3.递推关系-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮复习讲义

眉山一中2023届高三第一轮：数列 递推数列 1.叠加法：形如的递推数列， 求法： 例1.在数列{an}中，a1=2, an+1=an+2n(n∈N*)，则a100= . 例2.在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln(1＋)，则an＝________. 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝________. 2.叠乘法：形如的递推数列， 求法： 例1.若a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________. 例2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　) A．2n－1 B．()n－1 C．n2 D．n 例3.已知数列{an}满足a1＝1，an＝·an－1(n≥2且n∈N*)，则an＝________. 例4.满足，，．求数列的通项公式． 3.两边加“常数”法： 形如的递推数列， 求法：两边加常数“” 例1.若a1＝1，an＋1＝3an＋2.则通项公式an＝________. 例2.若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________. 4.两边“同除”： （1）形如的递推数列， 求法：两边同除的脚标最大次方 例1. 已知：，求。 （2）形如的递推数列， 求法：两边同除 例2. 已知：，求。 例3.在数列中，. （1）设，求数列的通项公式；　　　（2）求数列的前项和. 例4.(2018·全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式. 5.“取倒”数列：形如或的递推数列， （1）形如或的递推数列， 求法：变形为，数列为等差数列。 例1.已知f(x)=，满足xn=f(xn－1), (n>1, n∈N*)且x1=f(2)，则x10的值（ ） A、 B、 C、 D、 例2.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________. （2）形如的递推数列， 例1：数列{an}中，a1=2, ，则an= 。 6.对不熟悉的递推关系求数列的通项的通法： 对递推关系进行适当变形（比如分解因式）；构造新数列转化为熟悉的递推数列求解 例1.已知：，求。 例2.已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 例3.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式. 例4．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求数列{an}的通项公式． 7. 一类题型：第一问证明某数列是等比、等差数列。 充分利用题干对我们的提示，常用的方法有： 法1：配凑所求数列；法2：反解代入；法3：草稿本上求公比、公差。 例1.(14年全国卷Ⅱ）（本小题满分12分） 已知数列满足=1，. （Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式； （Ⅱ）证明：. 例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n. (1)求证：数列为等差数列； (2)令bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 例3. 已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2). (1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. 递推数列 1.叠加法：形如的递推数列， 求法： 例1.在数列{an}中，a1=2, an+1=an+2n(n∈N*)，则a100= . 例2.在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln(1＋)，则an＝________. 答案　2n＋nln n 解析　由题意得－＝ln(n＋1)－ln n，－＝ln n－ln(n－1)(n≥2). ∴－＝ln 2－ln 1，－＝ln 3－ln 2，…， －＝ln n－ln(n－1)(n≥2). 累加得－＝ln n，∴＝2＋ln n(n≥2)， 又a1＝2适合，故an＝2n＋nln n. 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1