4.解斜三角形-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮复习讲义

眉山一中2023届高三第一轮复习：三角函数 解斜三角形：知识梳理 一 正弦定理 1.正弦定理的推导：（法1：面积相等；法2：外接圆中找直径；） 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 ＝＝＝2R， 2.正弦定理的基础应用 应用一：已知两角及一边求三角形 注意：1.△ABC中，已知两角，则第三角也就已知了； 2.已知某角的一个三角函数的值，该角也就已知了，只不过不是特殊角而已。 例1.已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　) A.2 B.1 C. D. 例2．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝______. 例3. (16年全国卷I）的内角的对边分别为，若，，，则 ． 应用二：已知两边及一边的对角求另一边的对角（注意：应判断三角形的个数） 法1：几何法：在△ABC中，已知边以及角，解斜三角形 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 法2：代数法：在△ABC中，已知边以及角，解斜三角形 第一步：由＝求出的值； 第二步：看的值是否比1大，若比1大，则这样的三角形不存在； 第三步：若的值等于1，这样的三角形只有一个 第三步：若的值小于于1，看是否成立，若成立，这样的三角形只有一个；若成立，则这样的三角形有两个。 例1.在中，若三角形有两解，则的取值范围是 ； 例2.在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定 例3. 中，已知则C=（ ） A. B. C. D. 例4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3， 则A＝________. 例5.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A. B. C. D. 应用三：边角互化：边的齐次式转化为内角正弦的齐次式，内角正弦的齐次式转化为边的齐次式 正弦定理的常见变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； 两个解题意识：1.只要一个等式中有边有角，应想到边角互化； 2.一个等式中有A、B、C三个角，应想到利用A+B+C=π消掉一个角。 例1.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________. 例2. 在锐角中，若，则的范围（ ） A． B． C． D． 例3．(2019全国一卷17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 设． （1）求A； （2）若，求sinC． 例4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　) A.4π B.8π C.9π D.36π 二 余弦定理： 1.余弦定理的推导：（法1：向量方法；法2：勾股定理法） 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 2.余弦定理的基础应用 应用一：已知两边及两边的夹角求第三边 例1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A.4 B. C. D.2 例2. 在中，已知角所对的边分别为，且则的 值是（ ） A． B． C． D． 例3.在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长. 应用二：已知三边求三内角 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 cos A＝；cos B＝；cos C＝ 例1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 例2．三角形的三边之比为3:5:7，则其最大角为 （ ） A． B． C． D． 例3.(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c