3.三角函数的图像-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮复习讲义

眉山一中2023届高三第一轮复习:三角函数 三角函数的图象：知识梳理 一 单位圆中的三角函数线 1.正弦线，余弦线，正切线： 2.一个结论：若则 例：1．按从小到大排列为____________. 2．函数上交点个数是_________. 二 利用三角函数线作出三角函数的图象； y＝sin x y＝cos x y＝tan x 三 三角函数的性质 1.三角函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 x＝kπ＋， x＝kπ， 无 函数取最大值的 无 函数取最小值的 无 注意：1. 对称轴，对称中心的特点：正、余弦函数在对称轴处取最值；在对称中心处函数值为零。 2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 3.y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间内为增函数. 2.三角函数性质的应用 注意：求解三角函数的值域(最值)常见四种类型： (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函 数求值域(最值). (4)形如y＝asin2x＋bcos2x＋csin xcos x＋d的三角函数，“降幂化一”化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； 例1．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（       ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 例2.(2016·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 例3.已知函数f(x)＝2sin x－2cos x＋2sin xcos x＋，则f(x)的最大值为 。 例4.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 四 函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)(其中ω＞0,|φ|<)的图像和性质 （一） 函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)(其中ω＞0,|φ|<)的定义域 函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)的定义域都为， 函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域：从中抠去使得ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)的值。 例. 函数的定义域是（ ） A． B． C． D． （二） 函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)(其中A＞0)的值域 函数y＝Asin(ωx＋φ)在ωx＋φ＝＋2kπ 时取最大值A；在ωx＋φ＝2kπ－ 时取最小值－A； 函数y＝Acos(ωx＋φ)在ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时取最大值A；在ωx＋φ＝2kπ－π(k∈Z)时取最小值－A； 例1.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　) A. B. C.2 D.3 例2.已知，且在区间上有最小值，无 最大值，则ω＝_______. 例3. 若圆至少能盖住函数的图象的一个最高点和一个最低 点，则r的取值范围是（ ） A． B． C． D．以上都不对 例4.函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 例5.(14年全国卷Ⅱ）设函数.若存在的极值点满足， 则m的取值范围是（ ） A. B. C.