12.零点、函数与方程-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮讲义

眉山一中2023届高三第一轮复习：函数 函数与方程：知识梳理 一　函数零点的定义 （1）对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点； （2）方程有实根函数的图像与轴有交点函数有零点。 函数零点的理解：①函数的零点、方程的根、函数图像与轴的交点的横坐标是同一问题的三种不同表述形式，方程根的个数就是函数零点的个数就是图像与轴交点的个数； 　　　　　　　　　　　②函数的零点不是一个点，是一个实数，是一个使得函数的函数值为零的实数，是方程的实根； 二　函数零点的判定（即零点存在性定理） 　　　　如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点。 　　　　即存在，使得，实数就是的根， 注意：（1）若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. （2）由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 例1．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________． 例2．二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.若函数在区间[－1,1]上存在零点，则实数q的取值范围 ； 例3．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 三　用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步：确定区间，验证，给定精确度； 第二步：求区间的中点，判断的正负； 　若，则就是函数的零点； 　若，则函数的零点，此时把赋值给； 　若，则函数的零点，此时把赋值给； 第三步：判断是否达到精确度：若成立，则得到零点近似值（或）； 否则重复第二、三步； 二分法求函数零点近似值的理解：二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法，其实质是通过不断地“取中点”来缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间内的任意一点都是这个函数零点的近似值。 例．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________． 四　函数零点的求法和函数零点所在范围的判断 求函数的零点只需求出方程的根即可； 求函数零点所在范围：先判断函数的单调性，然后用零点存在性定理判断该区间上是否有零点 例1．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 例2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 (　　) A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，) 例3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________． 例4．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(　　) A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a) C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0 例5．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 五　函数零点个数的判断 与的交点个数求方程的实根个数 求函数的零点个数两新函数图像的交点个数。 1.解方程：方程根的个数即为函数零点的个数； 例1.(2012·湖北)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为 (　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 例2.设函数f(x)＝x2＋(x≠0)．当a>1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为_______． 2.图像与轴的交点个数　　 例1．函数f(x)＝sin x－x零点的个数是 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 例2. 函数的零点个数为（ ） A　4 B　3 C　2 D　无数个 例3．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 (　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 　 例4．已知函数f(x)＝，函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)