（人教版）初高中数学衔接教材：第七节 一元二次方程的判别式及韦达定理

第七节 一元二次方程的判别式及韦达定理 一、 配方可得： 1．当 方程有两个不相等的实数根； 2．当 方程有两个相等的实数根； 3．当 方程没有实数根； 注：(1)使用判别式 时要保证二次项系数 ； (2)一元二次方程有实数根 ； (3)二次三项式 为完全平方式 ； (4)二次三项式 恒正 或 ； 例1：当 为何值时，直线 与抛物线 ， ①有两个交点； ②有一个交点； ③无交点； 例2：二次函数 与 轴交于A、B两点，求 的最小值； 变式：求二次函数 与直线 截得弦长的最小值； 二、求根公式： ； 三、韦达定理： 例1： 取何值时，关于 的方程 (1) 有两个不相等实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根； 例2：证明 取任何实数时，关于 的方程 一定有实数根； 练习：(1)若关于 的一元二次方程 有两个不相等实数根，求的范围； (2) 取何值时，多项式 是一个完全平方式； 例3：已知关于 的方程 一根是 ，求另一根及 的值； 例4：若方程 两根分别为 与 ，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 例5：已知：实数 、 、 满足 ，求 的范围； 例6：设 是不小于 的实数，使得关于 的方程 有两个不相等的实根 、 ， (1)若 ，求 的值； (2)求 的最大值； 例7：关于的一元二次方程 ， (1)两根同号，求 的范围； (2)两根异号，求 的范围； 例8：已知： 、 是关于 的方程 的两个正实根且满足 ，求实数 的值； 例9：是否存在常数 ，使关于 的方程 的两个实根 、 满足 ，如果存在，试求出所有满足条件的 值，如果不存在，请说明理由； 思考题： 1．关于 的方程 有两实根且 ， 2．关于 的方程 有两实根 与 ，求 的最值； $$