9.二次函数-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮讲义

眉山一中2023届高三第一轮复习：函数 二次函数：知识梳理 一　一次函数 形如的函数。函数为上的增函数；函数为上的减函数。 例1.对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范围是(　) A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞) C．(1,2) D．(3，＋∞) 例2.若函数f(x)=ax+2a+1的值在－1≤x≤1时有正也有负，则实数a的范围是 。 二　一元二次函数 1.一元二次函数的表达式： （1）一般式：(a≠0) 例：若二次函数f(x)满足f(x+1)－f(x)=2x，且f(0)=1，则f(x)的表达式为（ ） 　A．f(x)=－x2－x－1 B．f(x)=－x2+x－1 C．f(x)=x2－x－1 D．f(x)=x2－x+1 （2）顶点式：已知二次函数的顶点为，则可设(a≠0)； 例.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式 f(x)＝________. （3）两根式：已知二次函数满足，则可设(a≠0)； 例.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为 ． （4）广义上的两根式：已知二次函数满足，则可(a≠0)。 例.已知二次函数的图像经过点，且，若在区间上，的图像恒在的图像上方，试确定实数的范围为 ； 2一元二次不等式的解法：一看：看对应的一元二次函数的开口；　二算；算对应方程的根； 　三写：写出不等式的解集。 例.解不等式：①； ②； ③。 3一元二次函数的图像： 画图应注意的信息：开口　　　　　对称轴　　　　　与轴的交点　　 与轴的交点（的几何意义：函数在轴上的截距） 例1．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________． 例2.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是_______． 例3.已知：为方程的两根，且，当时，下列不等式成立的是 （ ） A B C D 例4.【2017山东，理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4性质（1）顶点； 当时，函数在时取得最小值；当时，函数在时取得最大值。 （2）单调性：，函数在上为减；在为增。 ，函数在上为增；在为减。 例1.若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则f(m＋1)的值为(　　) A．正数 B．负数 C．非负数 D．与m有关 例2.已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2 5一元二次函数在区间上的最值问题； 思维顺序：（1）求出对称轴；（2）确定函数在已知区间上的单调性；（3）由单调性求出函数的值域； 例1.实数满足，则的最大值为 ，最小值为 ； 例2.设是关于的方程的两个实数根，则的最小值是 ； 例3.1．已知f(x)=x2+4x+3,函数g(t)表示f(x)在[t,t+2]上的最大值，求g(t)的表达式. 2．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值． 例4.二次函数的二次项系数为正数，且对任意实数恒有，若，则的取值范围 ； 例5．函数y＝(cosx－a)2＋1，当cosx＝a时有最小值，当cosx＝－1时有最大值，则a的取值范围是( ) A．[－1，0] B．[－1，1] C．(－∞，0] D．[0，1] 例6.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________． 例7.已知函数，若，则 （ ） A B C D 与的大小不能确定 例8.二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0）满足条件：f(2)=0，且方程f(x)=x有等根。 （1）求f(x)的解析式； （2）问是否存在实数m、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m、n]和[2m、2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由。 6一元二次函数的零点分