专题14 平行线分线段成比例定理与三角形形的“四心”-2019年初高中数学无忧衔接精品课程

专题14 平行线分线段成比例定理及三角形的“四心” 一、知识点精讲 （一）平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平行线 ，直线 交 于点 ， ，另作直线 交 于点 ，不难发现 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图， ，有 .当然，也可以得出 .在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 二、典例精析 【典例1】．如图， ，且 求 . 【典例2】在 中， 为边 上的点， ， 求证： 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【典例3】已知 ， 在 上， ，能否在 上找到一点 ，使得线段 的中点在 上. 我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在. 【典例4】在 中， 为 的平分线，求证： . 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 【典例5】如图3.1-12,在直角三角形ABC中， 为直角， . 求证：（1） ， （2） ； （3） （二）三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图，在三角形 中，有三条边 ，三个角 ，三个顶点 ，在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 【典例6】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比 为2：1. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 【典例7】已知 的三边长分别为 ，I为 的内心，且I在 的边 上的射影分别为 ，求证： . 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心. 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部， 直角三角形的垂心为他的直角顶点， 钝角三角形的垂心在三角形的外部. 【典例8】求证：三角形的三条高交于一点. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 三、对点精练 1. 在 中， 求 （1） 的面积 及 边上的高 ； （2） 的内切圆的半径 ； （3） 的外接圆的半径 . 【说明】在直角三角形ABC中， 为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为 （其中 分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？（该直角三角形的三边长满足勾股定理： .） 2. 如图，在 中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证： . 3. 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为 ，三角形ABC的高为 ，“若点P在一边BC上（如图a），此时 ，可得结论： .” 请直接应用以上信息解决下列问题： 当（1）点P在 内（如图b），（2）点在 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， 与 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题14 平行线分线段成比例定理及三角形的“四心” 一、知识点精讲 （一）平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平行线 ，直线 交 于点 ， ，另作直线 交 于点 ，不难发现 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图， ，有 .当然，也可以得出 .在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 二、典例精析 【典例1】．如图， ，且 求 . 【答案】见解析 【解析】 【典例2】在 中， 为边 上的点， ， 求证： 【答案】见解析 【解析】 证明（1） ∽ ， 证明（2） 如图过 作直