8.分段函数-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮讲义

眉山一中2023届高三第一轮复习：函数 分段函数 一 分段函数的定义：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 二 分段函数的性质 1.分段函数的定义域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集。 例．函数的定义域为____________. 2.分段函数的值域：分段函数的值域等于各段函数的值域的并集。 例.已知函数 当时，则函数的值域为 。 3.分段函数的图像：在同一直角坐标系内画出各段函数的图像即可。 注意：分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 例.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________. 三 典例分析 1.分段函数的值域或最值 例1.已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________. 例2．【2022年北京】设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 例3．【2022年浙江】已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 2.分段函数的求值 题型一：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值。 例1．设f(x)＝则f(f(－2))＝_______. 例2．【2021·浙江高考真题】已知，函数若，则___________. 例3．设函数，则（ ） A．9 B．11 C．13 D．15 例4.(2015·浙江)已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________. 例5.设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 题型2：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围。 例1.设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________. 例2.设函数f(x)＝若f [f()]＝4，则b＝(　　) A.1 B. C. D. 例3.已知函数 ，且，则（ ） A. B. C. D. 3.分段函数与不等式 已知函数的取值范围求自变量的范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 例1．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________． 例2．已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________． 例3.已知函数f(x)＝则f[f(x)]<2的解集是________. 例4．(2017·全国Ⅲ卷)设函数则满足的x的取值范围是_________。 例5. (2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0) D.(－∞，0) 例6.(13年全国卷I）、已知函数=，若||≥，则的取值范围是 . . .[-2,1] .[-2,0] 4.分段函数与方程 例1.已知。则f(－)的值为 ；若f(a)＝4且a>0，则实数a的值为 ． 例2.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________． 例3．1.已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 2.(2015·山东)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　) A.[,1] B．[0,1] C.[,＋∞) D．[1, ＋∞) 5. 分段函数与绝对值函数 例1．若函数y＝|2x－1|，在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________． 例2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　) A．[1,2] B．[－1,0] C．(0,2] D．[2，＋∞) 例3．设函数f(x)＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3,0) C．(－∞，3] D．(0,3] 分段函数 一 分段函数的定义：若函数