7.函数的周期性-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮讲义

眉山一中2023届高三第一轮数学复习函数讲义 函数的周期性：知识梳理 一 周期函数的定义： 1.函数对定义域中的任意都满足 函数是以为周期的周期函数 例.设函数则下列结论错误的是（ ） A.的值域为 B.是偶函数 C.不是周期函数 D.不是单调函数 2.由周期函数的定义获得的小性质： （1）若是函数的周期，则也是函数的周期，若函数的定义域为， 则也是函数的周期 　（2）周期函数的定义域不可能为闭区间 3.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期． 注意：不是所有的周期函数都有最小正周期，如：； 二 周期函数的性质 1.的周期为的周期为 例：若存在常数，使得函数满足：，则的一个正周期为 。 2.若函数满足：；； ；；则函数是周期函数； 3.函数的周期性、对称性的区分： (1)，这是周期问题；周期为；，这是对称轴问题；对称轴为。 (2)，这是周期问题；周期为；，这是对称轴中心问题；对 称轴中心为。 4.为奇函数（或偶函数），且有对称轴（或对称中心），则为周期函数；（掌握周期的推法） 例1.1.(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A.－50 B.0 C.2 D.50 2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为(　　) A．－1 B．1 C．0 D．无法计算 3.函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________. 5.为奇函数，且是以为周期的周期函数，则有对称中心； 6.为偶函数，且是以为周期的周期函数，则有对称轴； 7.为奇函数且满足，则 ①关于对称；②关于点对称；③的周期为。 例题分析： 例1： 求周期函数的表达式 1.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时， f(x)＝________. 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)． 例2. 求周期函数的值 1.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝ 则f[f(15)]的值为________. 2.定义在上的函数满足.当时，；当时，.则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（2 012）=（ ） A.335 B.338 C.1 678 D.2 012 3.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝， f（x＋2）＝f（x）＋f（2），则f（5）＝（ ） A．0 B．1 C． D．5 4.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则的值为 . 例3.求函数的周期 1．已知函数满足，当0<x<时，， 则=__________. 2.定义在R上的偶函数满足，且在上单调递增，设， ，，则大小关系是 ( ) A． B． C． D． 3.若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，，对任意x∈R恒成立，则f(2 019)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4．设f(x)是(－∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（ ） A．1.5 B．－0.5 C．0.5 D．－1.5 5.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 例4.画周