6.函数的奇偶性-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮讲义

眉山一中2023届高三第一轮数学复习函数讲义 函数的奇偶性：知识梳理 一 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 二 对函数奇偶性的理解和性质 1. 只有定义域关于原点对称的函数谈函数的奇偶性才有意义； 2. 函数既是奇函数又是偶函数；但既是奇函数又是偶函数的函数有无数个， 因为定义域不同叫不同的函数 　3.若在奇函数的定义域中，则。 例：1.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝(　　) A．4 B．2 C．0 D．不确定 2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1) 的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 三 判断函数奇偶性的步骤： 1.考查函数的定义域是否关于原点对称；若不对称，则函数一定是非奇非偶函数； 2.当函数的定义域关于原点对称时，判断等式之一是否恒成立。 3.熟悉三大奇函数 （1） (a>0且a≠1) （2）(a>0且a≠1) （3）(a>0且a≠1) 4.奇+奇为奇； 偶+偶为偶； 奇奇为偶； 奇偶为奇； 偶偶为偶； 例1：判断下列函数的奇偶性 （1）　（2）　（3） （4）f(x)=log2(1+4x)－x　　　（5）　　（6） 例2：判断下列函数的奇偶性 (1) (a>0且a≠1) (2)　(a>0且a≠1)　 (3)f(x)= (4) (5) (6) (7) 例3. 1.已知函数若实数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 (　　)． A．f(x)f(－x)是奇函数 B.是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 3.函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是(　　) A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数 B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数 C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数 D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数 4.(14年全国卷I）设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ） .是偶函数 .||是奇函数 .||是奇函数 .||是奇函数 四 函数奇偶性的性质 1.函数是奇函数（或偶函数）函数定义域关于原点对称； 2.函数是奇函数函数的图像关于原点对称； 3.函数是偶函数函数的图像关于轴对称； 4.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且值域“互为相反数”； 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且值域相同； 5.函数是偶函数对函数定义域中的任意实数都成立。 例1.1函数是偶函数，则函数的最小值为　　　　　。 2．若奇函数f(x)＝3sin x＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于(　　) A．3　　　　　B．－3 C．0 D．无法计算 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 例2.1．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． 2.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是(　　) A．(，) B．[，) C．(，) D．[，) 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是(　　) A.(－∞,) B.(－∞,)∪(,+∞) C.(,) D.(,+∞) 五　例题分析 　例1：求奇偶函数的解析式或值 1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上函数